2.3. Дослідження системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Крамера. Обернена матриця.
Розглянемо
систему лінійних алгебраїчних рівнянь
(1.1). Визначник (1.6), побудований з елементів
матриці А
(1.2), називається визначником системи
(1.1) Побудуємо визначники
і
,
які отримуються з визначника системи
шляхом заміни вільними членами відповідно
першого, другого і третього стовпчиків.
Наприклад:
(1.9)
Розглянемо такі випадки:
1.
.
У цьому випадку існує єдиний розв’язок
системи (1.1):
і
.
(1.10)
Формули (1.10) називаються формулами Крамера.
Приклад 1. Знайти усі розв’язки заданої системи
Оскільки,
,
то, згідно з методом Крамера, маємо:
.
2.
і хоча б один з визначників, наприклад,
,
а
.
Тоді система (1.1) не має взагалі розв’язків.
Приклад 2. Дослідити систему
Дана
система не має розв’язків, оскільки
і
.
3.
.
У цьому випадку система (1.1) або взагалі
не має розв’язків, або їх нескінченно
велика кількість.
Приклад 3. Дослідити систему
Маємо:
.
Від другого рівняння віднімемо перше,
як результат знаходимо
.
Тоді покладемо
і з першого рівняння, наприклад, знайдемо
.
Отже, дана система має нескінченну
множину розв’язків.
Приклад 4. Дослідити систему
Маємо: . Помножимо перше рівняння на 2 і віднімемо його від другого рівняння. В результаті отримуємо неможливу рівність: 0=1. Отже, ці два рівняння є несумісними. Це означає, що дана система взагалі не має розв’язків.
Систему лінійних алгебраїчних рівнянь (1.1) можна записати в матричній формі
AX=H , (1.11)
де
- невідомий вектор-стовпчик, а
- заданий вектор-стовпчик вільних членів.
Тоді розв’язок рівняння (1.11) записується так:
,
(1.12)
де А-1 – матриця, яка називається оберненою матриці А і задовольняє таке співвідношення:
.
(1.13)
Обернену матрицю А-1 до заданої матриці А можна розрахувати за формулою:
,
(1.14)
де
і
-
алгебраїчні доповнення
елементів
визначника
матриці А.
Приклад 5. Розв’язати систему рівнянь
Маємо
.
Тоді згідно з формулою (1.14):
.
За формулою (1.12) отримуємо шуканий
розв’язок:
.
Завдання для самостійної роботи
Дано матриці
і
.
Обчисліть: 1) А+В; А+С; В-С; 2) АВ; ВА; АС; СА; ВС; СВ; 3)А-1, В-1, С-1.
У задачах 2-4, не розкриваючи визначники, доведіть справедливість нерівностей:
2.
.
3.
.
4.
У задачах 5-11 обчисліть визначники:
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
.
У задачах 12,13 розв’яжіть рівняння:
12.
.
13.
.
У задачах 14-17 встановіть, що системи мають єдиний розв’язок і знайдіть його:
14.
15.
16.
17.
У задачах 18, 19 знайти розв’язки системи рівнянь:
18.
19.
20. Визначте, за яких значень параметрів а і b система рівнянь
1) має єдиний розв’язок; 2) немає розв’язків; 3) має безліч розв’язків.