2. Параметричні й канонічні рівняння прямої. Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки

Нехай пряму на площині задано паралельним до неї вектором і точкою . Точка і вектор цілком визначають пряму, адже через точку можна провести одну і тільки одну пряму, паралельну векторові (Рис. 2.16). Вектор має однаковий напрям із прямою і тому називається її напрямним вектором. Позначимо радіус-вектор точки прямої через , а радіус-вектор довільної її точки через . Вектори і колінеарні:

(14)

y

M₀

М

0 x

Рис. 2.16

Отже, їх координати пропорційні:

. (15)

Звідси, згідно з рівнянням (14)

. (16)

Рівняння (14) – векторне рівняння прямої , заданої точкою і напрямним вектором .

Рівняння (15) зветься канонічним рівнянням прямої, (16) – її параметричним рівнянням; t – змінний параметр прямої. Коли точка М рухається по прямій , то t змінюється за абсолютним значенням і знаком. Знак t залежить від того, однаковий чи протилежний напрям мають вектори і . Абсолютне значення пропорційне відстані від точки М до точки М₀. В окремому випадку, коли вектор – орт, дорівнює відстані між точками М₀ і М. Дійсно, якщо , то . Крім того, в цьому разі , де – кут між вектором та віссю Ох.

Досить часто пряма на площині задається двома своїми точками. Запишемо її рівняння в цьому випадку. Нехай і дві точки прямої . Очевидно, що двома точками прямої визначається її напрямний вектор, який лежить на прямій : і тому координати вектора обчислюються за формулами:

.

Підставивши значення a, b у рівняння (15), дістанемо

(17)

• рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

2. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Нехай пряму задано точкою і кутом , який вона утворює з додатним напрямом осі Ох (Рис. 2.17). Введемо позначення . Тангенс кута нахилу прямої до осі Ох називають кутовим коефіцієнтом прямої.

Рівняння прямої, заданої точкою і кутовим коефіцієнтом k, дістанемо з рівняння (15). Справді, якщо напрямний вектор – орт, то , де – кут між вектором , а, отже, і прямою , та додатним напрямом осі Ох. Тому . Таким чином, на підставі (15), маємо

(18)

• рівняння в’язки прямих.

у

у M

у₀ М₀ ) N

0 )

х₀ х х

Рис. 2.17

Рівняння (18) можна вивести безпосередньо з Рис. 2.17. Позначимо через довільну точку прямої . Із (Рис.2.17) знайдемо , звідки, беручи до уваги, що , дістанемо рівняння (18).

Часто пряму на площині задають кутом і відрізком b, який вона відтинає на осі Оу. Очевидно, що такий спосіб задання прямої зводиться до попереднього. Справді, в цьому разі точка є точкою перетину прямої із віссю Оу. Підставивши координати точки у рівняння (18), дістанемо , або, остаточно

. (19)

(19) – рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.