1.7. Лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами

Розглянемо лінійне неоднорідне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами:

(31)

1. Нехай

(32)

де – многочлен степеня п. Тоді частинний розв’язок рівняння (31) потрібно шукати у вигляді

(33)

де – многочлен того ж степеня п, як і а – число коренів характеристичного рівняння (31), які дорівнюють .

Приклад 1. Розв’язати рівняння

Характеристичне рівняння має такі корені: і Отже, загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння буде таким: . Оскільки, , тоді . У цьому випадку частинний розв’язок даного рівняння шукаємо в такому вигляді: . Після підстановки його в рівняння отримуємо: Прирівнюючи коефіцієнти за однакових степенів х ліворуч і праворуч рівності

знаходимо: і Тоді і загальний розв’язок даного рівняння має вигляд:

2. Нехай

(34)

де – многочлен степеня т. Тоді частинний розв’язок рівняння (31) потрібно шукати у вигляді

(35)

де і – многочлени степені , – число коренів характеристичного рівняння (31), які дорівнюють

Приклад 2. Розв’язати рівняння яке описує вимушені коливання (наприклад, підвішеного на пружині вантажу) під дією зовнішньої періодичної сили з частотою і амплітудою а (опором середовища нехтуємо). - частота вільних коливань у системі (наприклад, вантажу).

Розглянемо такі випадки:

1. .

Характеристичне рівняння має комплексно спряжені корені і , і загальний розв’язок вихідного рівняння визначається за формулою: (вільні коливання в системі). Частинний розв’язок шукаємо у вигляді: . У результаті, після підстановки в рівняння, маємо: і (коливання в системі під дією зовнішньої сили). Загальний розв’язок даного рівняння має вигляд:

.

Як бачимо, результуюче коливання в системі – це складний коливальний рух (суперпозиція двох коливань з різними частотами).

2. .

У цьому випадку частинний розв’язок рівняння шукаємо у вигляді: . Після його підстановки в рівняння знаходимо невідомі коефіцієнти: і . Отже, , і загальний розв’язок вихідного рівняння має такий вигляд:

.

Як бачимо, в системі відбувається складний коливальний рух, який є результатом додавання двох коливань з однаковими частотами. Звертає на себе увагу той факт, що амплітуда цього коливального руху необмежено зростає з часом (за рахунок наявності множника у третьому доданку). .це явище називається резонансом. Воно може призводити до руйнування коливальної системи.

Приклад 3. Знайти загальний розв’язок системи рівнянь:

Одним з основних методів знаходження розв’язку системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь першого порядку зі сталими коефіцієнтами є метод виключення невідомих. За допомогою цього методу дана система зводиться до одного диференціального рівняння другого порядку відносно однієї невідомої функції.

Продиференціюємо перше рівняння з системи рівнянь по х: . Підставляючи сюди вираз з другого рівняння системи та замінивши функцію z її виразом з першого рівняння, отримуємо лінійне однорідне рівняння другого порядку відносно однієї невідомої функції у: . Загальним розв’язком цього рівняння є функція: . Далі продиференціюємо функцію у по х і підставимо вирази для у та в перше рівняння системи. У результаті маємо шукану функцію z: .