27. Доведіть твердження

1. Кожна нескінченна множина містить зліченну підмножину.

2. Кожна нескінченна підмножина зліченної множини є зліченною.

3. Об’єднання скінченного числа зліченних множин є зліченною множиною.

4. Об’єднання зліченної і скінченної множини є зліченна множина.

5. Множина всіх скінченних підмножин із є зліченною.

6. Множини є зліченною.

7. Множина всіх поліномів із раціональними коефіцієнтами є зліченною.

8. Множина всіх квадратів із , координати вершин яких виражаються раціональними числами, є зліченною.

9. Множина всіх поліномів другого степеня є незліченною.

10. Множина всіх трикутників на площині є незліченною.

11. Установіть взаємно однозначну відповідність між точками кола і межі описаного навколо нього квадрата.

12. Переконайтесь, що функція , яка задана параметрично , ,є взаємно однозначною відповідністю між множинами і .

13. Доведіть, що кожна нескінченна множина має еквівалентну їй власну підмножину , тобто таку, що . Чи справедливе це твердження для скінченних множин?

14. Довести, що будь-яка система попарно неперетинних відкритих проміжків дійних чисел є скінченною або зліченною.

19