Розділ 1. Простори та оператори

2. Потужність множини.

1. Бієкція між множинами. Нехай і – дві множини. називається оборотною, якщо з рівності випливає, що . Для кожної оборотної функції існує обернена функція, тобто така функція , що і

. (1)

. (2)

Бієкцією або взаємно однозначною відповідністю між множинами і називається така оборотна функція , що .

Приклад 1. Функція є бієкцією між множинами та .

2. Потужність множини. Дві скінченні множини порівнюють за кількістю елементів. Тому щоб з’ясувати, яка з двох скінченних множин містить більше елементів досить елементи цих множин перерахувати. Але можна цієї ж мети досягти, встановивши між елементами множин взаємно однозначну відповідність. Наприклад, щоб з’ясувати кого чи чого в аудиторії більше, крісел чи студентів, досить запропонувати кожному студентові сісти на крісло. Перший спосіб підходить тільки для скінченних множин, а другий – і для нескінченних. Усі нескінченні множин містять нескінченну кількість елементів. Тому нескінченні множини порівнюють за їх потужністю. Розглянемо це поняття. Дві множини і називаються еквівалентними або рівнопотужними (пишуть ), якщо між ними існує взаємно однозначна відповідність, тобто існує така оборотна функція , що і . Наприклад, множини і є еквівалентними. Взаємно однозначною відповідністю між ними є функція . Множини і є еквівалентними. Взаємно однозначною відповідністю між ними є функція . Дві скінченні множини є еквівалентними тоді і тільки тоді, коли, вони складаються з однакової кількості елементів. З означення випливає, що: 1) ;2) , якщо ; 3) , якщо і . Поділимо всі розглядувані множини на класи, віднісши до одного класу еквівалентні множини. Властивості 1)-3) показують, що це бінарне відношення і справді є відношенням еквівалентності. Тому згадані класи попарно не перетинаються. Кожному такому класу еквівалентності ставиться у відповідність символ, який називається потужністю кожної множини, яка входить в заданий клас, а сам цей символ називається кардинальним числом. Потужність порожньої множини позначають символом , множини, яка складається з елементів – через , множини всіх натуральних чисел – через або (читається ‘‘алеф-нуль’’), множини всіх дійсних чисел – через або . Множина кардинальних чисел складається з цілих невід’ємних чисел та деяких інших символів, які характеризують потужності множин. Отож, поняття потужності множини є узагальненням поняття кількості елементів. Потужність довільної множини позначатимемо через . Таким чином, тоді і тільки тоді, коли множини і є еквівалентними. Кажуть, що , якщо не є еквівалентною , але є еквівалентною деякій підмножині множини . Кажуть, що , якщо або , тобто якщо є еквівалентною деякій підмножині множини . Справедлива наступна теорема Кантора-Бернштейна.

Теорема 1. Якщо множина є еквівалентною деякій підмножині множини , а множина є еквівалентною деякій підмножині множини , то .

Інакше цю теорему можна сформулювати так. Якщо і , то .

Доведення. Нехай , . Якщо або , то твердження теореми є справедливим. Тому далі вважаємо, що і є власними підмножинами, тобто і . Нехай - взаємно однозначне відображення множини на множину . Нехай . Тоді . Тому і . Покажемо, що з останніх умов випливає, що . Нехай – взаємно-однозначне відображення на і . Тоді , і . Нехай – взаємно-однозначне відображення на і . Тоді , і . Продовжуючи процес, отримуємо послідовність множин таку, що

,

,

Нехай . Тоді

,

.

Множини, об'єднанням яких є попарно не перетинаються. Це ж стосується множин, об'єднанням яких є . Множини, які стоять на непарних місцях цих об'єднань, є рівними (отже, і еквівалентними), а множини, які стоять на непарних, є еквівалентними. Звідси випливає, що .►

Наслідок 1. Якщо і , то .

Приклад 1. Множини та є еквівалентними. Взаємно однозначною відповідністю між ними є функція , визначена формулою .

Приклад 2. Множини та є еквівалентними. Взаємно-однозначною відповідністю між ними є функція , де , і .

6. Зліченні множини. Множину називають зліченною або зчисленною, якщо вона еквівалентна множині натуральних чисел. Інакше можна сказати, що множина є зліченною, якщо існує послідовність, членами якого якої є всі елементи множини , причому всі члени послідовності є різними між собою. Серед властивостей зліченних множин виділимо такі.

1. Кожна нескінченна множина містить зліченну підмножину.

2. Кожна нескінченна підмножина зліченної множини є зліченною.

3. Об'єднання скінченного числа зліченних множин є зліченна множина, тобто для кожного .

4. Об'єднання зліченного числа зліченних множин є зліченна множина, тобто .

5. Об'єднання зліченного числа скінченних множин є зліченна або скінченна множина, тобто для кожного .

6. Об'єднання зліченної і скінченної множини є зліченною множина, тобто для кожного .

Доведемо, наприклад, властивість 5. Нехай множини

...................................................

є зліченними. Елементи множини розмістимо в порядку, який вказують стрілки на рисунку. Приходимо до висновку, що –зліченна множина. ►

Теорема 1. Множина всіх раціональних чисел є зліченною.

Доведення. Справді, раціональні числа – це нескоротні дроби , де і . Висотою дробу називають число . Розмістимо раціональні числа в порядку неспадання їх висоти

.

Отже, множина раціональних чисел є зліченною. ►

Теорему 2. Множина всіх алгебраїчних чисел є зліченною.

Доведення. Справді, алгебраїчне число – це таке дійсне число, яке є коренем полінома з раціональними коефіцієнтами. Множина таких поліномів є зліченною, а кожний поліном має скінченне число нулів. ►

Приклад 1. Множина є зліченною оскільки функція є взаємно однозначною відповідністю між множинами та .

Приклад 2. Множина є зліченною.

7. Множини потужності континууму. Нескінченна множина, яка не є еквівалентною множині натуральних чисел, називається незліченною. Множину, яка є еквівалентною множині , називають множиною потужності континууму.

Теорема 1. Множина є незліченною.

Доведення. Припустимо протилежне. Тоді всі числа з ‘ членами деякої послідовності . Проміжок поділимо на три рівні. Один з отриманих проміжків, який не містить , позначимо через . Поділимо на три рівні проміжки і той з отриманих проміжків, який не містить , позначимо через . Продовжуючи цей процес, отримаємо послідовність замкнених проміжків з властивостями ; 2) ; 3) . Згідно з принципом вкладених проміжків . З іншого боку, . Маємо суперечність з 3). ►

Теорема 2. Для будь-яких і , , множини і є еквівалентними.

Доведення. Справді, взаємно однозначною відповідністю між і є функція .►

Наслідок 1. Множини , , та є рівнопотужними.

Доведення. Справді, це випливає з теореми Кантора-Бернштейна. ►

Теорема 3. Множини і є еквівалентними.

Доведення. Справді, взаємно однозначною відповідністю між множинами і є функція .►

Наслідок 2. Множина має потужність континууму.

Теорема 4. Якщо –нескінченна множина, а –зліченна або скінченна множина і , то .

Доведення. Нехай – зліченна підмножина множини і . Тоді і . Але і . Тому .

Наслідок 3. Множина всіх ірраціональних чисел має потужність континууму.

Доведення. Справді, множина всіх дійсних чисел є об’єднанням множини ірраціональних чисел і множини раціональних чисел, а остання множина є зліченною. Тому потрібне випливає з теореми 4. ►

Нагадаємо, що дійсне число називається трансцендентним, якщо воно не є нулем полінома з раціональними коефіцієнтами.

Наслідок 4. Множина всіх трансцендентних чисел має потужність континууму.

Доведення. Справді, множина всіх дійсних чисел є об’єднанням множини трансцендентних чисел і множини алгебраїчних чисел, а остання є зліченною. Тому потрібне випливає з теореми 4.►

Приклад 1. Множина має потужність континууму. Справді, функція є взаємно однозначною відповідністю між множинами та .

Можна довести і наступні твердження

Теорема 5. Множина всіх підмножин множини має потужність більшу, ніж множина .

Якщо є -елементна множина, то кількість її підмножин дорівнює

,

де –біноміальні коефіцієнти. У зв’язку з цим, потужність множини всіх підмножин множини позначають через , якщо потужність множини дорівнює . Теорема 5 стверджує, що .

Теорема 6. Множина всіх функцій , для яких має потужність більшу, ніж .

Теорема 7. Множина всіх функцій , неперервних на , є еквівалентною множині .

Теорема 8. Об'єднання скінченної або зліченної кількості множин потужності континууму є множиною потужності континууму.

Теорему 8 можна формулювати так: і .

Теорема 9. Множина всіх підмножин множини всіх натуральних чисел еквівалентна множині всіх дійсних чисел.

Теорему 9 можна сформулювати так : .

Теорема 3. Множина всіх послідовностей натуральних чисел має потужність континууму.

Теорема 4. Множина всіх послідовностей дійсних чисел має потужність континууму.

Наслідок 1. Для будь-якого множина є еквівалентною множині всіх дійсних чисел, тобто: для кожного натурального числа .

Зауваження 1. Згідно з властивостями зліченних множин не існує множини, яка б мала потужність більшу, ніж будь-яка скінченна множина, але меншу, ніж зліченна. З теореми 6.3, 5,1 і 5.3 випливає, що і . Довгий час залишалось відкритим питання про існування множини, потужність якої задовольняє умову (континууму-гіпотеза). Саму цю гіпотезу сформулював один зі засновників теорії множин Г.Кантор. Спочатку К.Гедель довів, що прийнятими в математиці методами не можна спростувати припущення про неіснування такої множини. Потім П.Коен показав, що прийняті в математиці методи не можуть спростувати і припущення про існування такої множини. Точне формулювання результатів К.Геделя та П.Коена є складнішим. Воно пов’язане з аксіоматичною теорією множин і філософськими проблемами математики. Ми ж вище говорили про наївну теорію, тобто знаходимось в рамках такої теорії множин, де поняття множини приймається як первісне, не визначається, а тільки роз’яснюється. Природним є питання про можливість порівняння двох множин за їх потужністю, тобто про порівнянність будь-яких двох кардинальних чисел. Воно також довгий час залишалось відкритим. Позитивну відповідь на нього дав Е.Цермело. Його доведення базувалось на аксіомі вибору, яка носить назву аксіоми Е.Цермело. Ця аксіома твердить, що якщо – деяка множина і задано сукупність множин , , то існує множина , яка складається з елементів , узятих по одному з кожного , точніше кажучи, існує функція , яка кожному ставить у відповідність один елемент множини . Ця аксіома пов’язана, зокрема, з поняттям цілком впорядкованої множини. Е.Цермело довів, що кожну непорожню підмножину можна повно впорядкувати і, таким чином, будь-які два кардинальні числа можна порівняти.