2.1. Система счисления майя

Майя использовали 20-ричную систему счисления за одним исключением: во втором разряде было не 20, а 18 ступеней, то есть за числом (17)(19) сразу следовало число (1)(0)(0). Это было сделано для облегчения расчётов календарного цикла, поскольку (1)(0)(0) = 360 примерно равно числу дней в солнечном году.

2.2. Факториальная система счисления

Профессиональный интерес для специалистов в области численного анализа представляют факториальная и фибоначчиева системы, строящиеся на основе разложения (линейной комбинации)

,

где коэффициенты (называемые как и прежде цифрами) устанавливаются в некотором диапазоне, а основание является функцией от номера разряда в изображении числа.

Факториальная система счисления строится на основании факториалов k! =1 2 3 4  … (k-1)  k. Учитывая, что

1! =1, 2! =2, 3! =6, 4! =24, 5! =120, 6! =720 …,

можем записать число

137=1120+024+26+22+11=1(5!)+0(4!)+2(3!)+2(2!)+1(1!)

в виде 137=10221_fact (для факториальной системы цифры принимают значение в диапазоне от 0 до k).

Очевидно, что эта система служит для компактного представления очень больших чисел - 20! ~ 2,432910¹⁸.

2.3. Фибоначчиева система счисления

Система, основанная на числах Фибоначчи (ее цифры равны 0 и 1), служит той же цели, что и факториальная система. Однако эти числа используются не только для компактного представления чисел, но и при решении многих оптимизационных задач.

Числа Фибоначчи – элементы числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 …, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел (F₀=F₁=1, F_k=F_k-1+ F_k-2 (k2)). Данная последовательность названа по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (Фибоначчи).

K	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Fk	1	2	3	5	8	13	21	34	55
K	10	11	12	13	14	15	20	25	30
Fk	89	144	233	377	610	987	10946	121393	1346269

Число 137=189+055+134+021 +113 +08+05 +03+02+11 запишется в виде 1010100001_fib. Отметим, что в фибоначчиевой записи не встречается две единицы подряд.

Любопытства ради, заметьте, что

Число 0,6180… называют золотым сечением и используют в численном анализе, в строительстве сооружений, при поиске гармонии в природе и обществе. Еще строители Парфенона усматривали золотую пропорцию катетов 0,6180 : 0,3820 в приятнейшем для глаза треугольнике.

3. Контрольные вопросы

Ознакомьтесь с принципами работы непозиционных и смешанных систем счисления и ответьте на приведенные ниже вопросы.

1. Дайте определения непозиционных и смешанных систем счисления.

2. Назовите и охарактеризуйте свойства непозиционных и смешанных систем счисления.

3. Назовите известные вам непозиционные системы счисления.

4. Назовите известные вам смешанные системы счисления.

5. Объясните причину неполной непозиционности римской системы счисления.

6. Охарактеризуйте различие между цифрой и числом.

7. Ознакомившись с позиционными системами счисления, охарактеризуйте систему счисления майя.

8. Сравните между собой факториальную и фибоначчиеву системы счисления.

9. Чему равно отношение 15-го и 16-го чисел Фибоначчи и насколько оно далеко от золотого сечения?

10. Находится ли представительство партий в Государственно думе в отношении золотого сечения?

11. Чему равна обратная величина золотого сечения? Не наводит ли эта величина на размышления, которые позволили бы найти золотое сечение с большим числом знаков?