1.2. Система остаточных классов (сок)

Представление числа в системе остаточных классов основано на понятии вычета и китайской теореме об остатках. СОК определяется набором взаимно простых модулей с произведением так, что каждому целому числу x из отрезка [0, M-1] ставится в соответствие набор вычетов , где

При этом китайская теорема об остатках гарантирует однозначность представления для чисел из отрезка [0, M-1].

В СОК арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) выполняются покомпонентно, если про результат известно, что он является целочисленным, а также лежит в [0, M-1].

Недостатками СОК является возможность представления только ограниченного количества чисел, а также отсутствие эффективных алгоритмов для сравнения чисел, представленных в СОК. Сравнение обычно осуществляется через перевод аргументов из СОК в смешанную систему счисления по основаниям .

Формула перевода чисел из СОК в десятичную систему счисления имеет вид:

, где - представление числа A в СОК с основаниями ;

;

– (целые числа), причём r выбирают так, чтобы разность между левой и правой частью выражения была меньше P;

, где , причём выбирается таким, чтобы остаток от деления был равен 1.

Пример.

в системе с основаниями: , , .

.

, где r=2.

1.3. Система счисления Штерна-Броко

Система счисления Штерна-Броко – способ записи положительных рациональных чисел, основанный на дереве Штерна-Броко.

Дерево Штерна-Броко – способ расположения всех неотрицательных несократимых дробей в вершинах упорядоченного бесконечного двоичного дерева. В дереве Штерна-Броко дробь является корнем, а все прочие узлы заполняются по следующему алгоритму: каждая вершина имеет двух потомков – левого и правого .

Начальный кусок дерева Штерна-Броко представлен на рисунке 1.

Дерево Штерна-Броко обладает следующими отличительными свойствами:

1. все дроби в дереве Штерна-Броко несократимы;

2. каждая несократимая дробь появляется в дереве;

3. каждая несократимая дробь появляется ровно один раз.

Эти свойства легко доказываются, если заметить, что каждому шагу по дереву в направлении к корню соответствует элементарный шаг вычитания меньшего числа из большего в алгоритме Евклида для поиска наибольшего общего делителя.

Возвратимся к системе счисления Штерна-Броко. Если воспользоваться символами L и R для идентификации левой и правой ветви дерева Штерна-Броко при продвижении вниз по дереву от корня (дроби ) к некоторой определённой дроби. Тогда каждая положительная дробь получает единственное представление в виде строки состоящей из символов "R" и "L" (дроби соответствует пустая строка). Такое представление положительных рациональных чисел и называется системой счисления Штерна-Броко.

Например, обозначение LRRL соответствует дроби , а RLLR соответствует дроби .

2. Смешанные системы счисления

Смешанная система счисления является обобщением b-ричной системы счисления и также зачастую относится к позиционным системам счисления. Основанием смешанной системы счисления является возрастающая последовательность чисел и каждое число x представляется как линейная комбинация:

,

где на коэффициенты (называемые как и прежде цифрами) накладываются некоторые ограничения.

Записью числа x в смешанной системе счисления называется перечисление его цифр в порядке уменьшения индекса k, начиная с первого ненулевого.

Если для некоторого b, то смешанная система счисления совпадает с b-ричной системой счисления.

Наиболее известным примером смешанной системы счисления является представление времени в виде количества суток, часов, минут и секунд. При этом величина d дней h часов m минут s секунд соответствует значению секунд.

Рассмотрим далее наиболее распространенные смешанные системы счисления.