Задача д6

Применение принципа возможных перемещений

к определению условий равновесия механической системы

Данная задача на определение условий равновесия механической системы с помощью принципа возможных перемещений.

Принцип возможных перемещений дает общий метод решения задач статики. То есть, для равновесия механической системы с наложенными на нее геометрическими, стационарными, удерживающими, идеальными связями необходимо, чтобы сумма элементарных работ активных сил системы на любых возможных перемещениях из рассматриваемого положения равнялась нулю: =  = 0, , где  - возможные перемещения точек системы.

Как известно, возможными перемещениями называются воображаемые бесконечно малые перемещения точек и тел механической системы, допускаемые связями, наложенными на систему в данный момент времени.

В рассматриваемой задаче механизм имеет одну степень свободы, т.е. одно независимое перемещение. Для решения задачи необходимо сообщить механизму возможное перемещение, вычислить сумму элементарных работ всех действующих активных сил и пар на этом перемещении и приравнять ее нулю. Все вошедшие в составленное уравнение возможные перемещения следует выразить через какое-нибудь одно. Чтобы найти деформацию пружины, надо из полученного уравнения равновесия определить силу упругости . На рис. эту силу можно направить в любую сторону , т.е. считать пружину растянутой (или сжатой); верно ли выбрано направление силы, укажет знак.

Пример

Плоский механизм (рис. Д6,а) состоит из стержней 1,2,3 и ползуна Д, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О, В шарнирами.

К ползуну Д прикреплена пружина с коэффициентом жесткости С, а к стержням 1, 3 пары сил с моментами М₁, М₂, то есть дано:

 = 60⁰,  = 120⁰, j = 90⁰,=90⁰  = 0⁰, = 120⁰, ₁ = 0,4 м, ₃=0.6 м, АЕ = ЕД,

С = 1,8 10⁴Н/м, М₁= 150 Нм, М₂=400 Нм.

Определить деформацию Х пружины при равновесии механизма.

а) б)

Рис Д6

Решение

1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис. Д6,б); при этом прикрепляем пружину к ползуну согласно указанию в задании.

Для решения задачи воспользуемся принципом возможных перемещений, то есть

= 0. (1)

Изображаем действующие на механизм активные силы: пары с моментами М₁,М₂ и силу упругости пружины, предполагая, что пружина растянута. Неизвестную силу найдем с помощью уравнения (1), а зная и учитывая, что F = cх, определим х.

Чтобы составить уравнение (1), сообщим механизму возможное перемещение и введем следующие обозначения для перемещения звеньев, к которым приложены активные силы: ₁, ₃ поворот стержней 1 и 3 соответственно вокруг осей О и В, r_Д - перемещение ползуна Д. Из перемещений _1,_3, r_Д - независимое от других одно (у механизма одна степень свободы). Примем за независимое возможное перемещение ₁ и установим, какими тогда будут ₃ и r_Д, выразив их через ₁. При этом важно определить и направления возможных перемещений, так как иначе в уравнении (1) будут ошибки в знаках.

При расчетах необходимо учесть, что зависимость между возможными перемещениями будет такой же, как и между соответствующими скоростями звеньев механизма при его движении и поэтому воспользуемся известными из кинематики соотношениями.

Сначала найдем и покажем r_А (направление r_А определяется направлением ₁), получим:

r_А = ₁₁; r_А ОА. (2)

Теперь определим и изобразим r_Д, учитывая, что проекции r_Д и r_Ана прямую АД должны быть равны друг другу, то есть иметь одинаковые модули и знаки. Тогда

r_Д cos 30⁰ = r_А cos 30⁰ и r_Д = r_А = ₁. (3)

Чтобы определить ₃ найдем сначала r_Е . Для этого построим мгновенный центр вращения (скоростей) С₂ стержня 2 (AD) (на пересечении перпендикуляров к r_А и r_Д, восстановленных из точек А и Д) и покажем направление поворота стержня 2 вокруг С₂, учитывая направление r_А и r_Д.

Так как  С₂АД =  С₂ДА = 60⁰ , то АС₂Д - равносторонний и С₂Е в нем высота, поскольку АЕ = ЕД.

Тогда перемещение r_Е перпендикулярное С₂Е будет направлено по прямой АД. При изображении r_Е учитываем направление поворота вокруг центра С₂.

Воспользовавшись тем, что проекции r_Е и r_А на прямую ЕА должны быть равны друг другу, получим:

r_Е = r_А cos 30⁰ = ₁₁ cos 30⁰. (4)

Кроме того

₃ = = . (5)