Учитывая, что , так как другие внешние силы не создают момента относительно оси z, из (1) находим

. (15)

Подставляя в (15) полученное выражения для по (14), получаем

. (16)

Константу определяем по начальному условию: t=0, , откуда

. (17)

Из (16) с учетом (17) получаем зависимость угловой скорости от времени

.

Задача д4 Применение теоремы об изменении кинетической энергии к исследованию движения механической системы

Методические указания. Задача Д4 – на применение теоремы об изменении кинетической энергии в интегральной форме, т.е. за конечный отрезок времени. При решении задачи учесть, что кинетическая энергия системы Т равна сумме кинетических энергий всех движущихся тел, входящих в систему. Кинетическую энергию системы необходимо выразить через искомую скорость, которая указана в столбце “Найти” (см. «Задания …»). Для тел, совершающих плоское движение, скорости точек определяются с помощью мгновенного центра скоростей. При вычислении работы сил, приложенных к системе, необходимо все перемещения точек их приложения выразить через заданные перемещения S₁, учтя при этом, что соотношения между перемещениями точек будут такими же, как и между их скоростями. Учитывая, что на систему наложены только идеальные связи, работа внутренних сил системы равна нулю.

Пример

Рис. Д4

Механическая система, состоящая из трёх тел массы m₁, m₂, m₃ соответственно соединённых нерастяжимыми нитями, приводится в движение из состояния покоя, под действием силы F = F(S) = aS + b (a, b>0-const, S перемещение груза). К блоку 3 прикреплена пружина жёсткости С, которая в начальный момент движения системы находилась в свободном состоянии. Каток 3 катится без скольжения. К блоку 2 приложен момент сопротивления М_с = kφ (k > 0, φ – угол поворота). Радиусы инерции блоков 2 и 3 равны . Определить угловую скорость катка 3 в момент, когда груз 1 переместится на величину , т.е. (S₁).

Решение

1. Применяем теорему об изменении кинетической энергии системы в интегральной форме

, (1)

где – кинетическая энергия системы в начальный момент времени;

– кинетическая энергия системы в момент времени, когда тело 1 переместится на величину ;

=0 , т.к. система находилась в покое;

– работа к-й внешней силы на перемещении точки её приложения;

– работа внутренних сил системы;

=0, т.к. связи между телами системы – идеальны (нити нерастяжимы).

2. Начинаем решение задачи с определения кинетической энергии системы

, (2)

где – кинетическая энергия поступательно движущегося груза 1;

– кинетическая энергия блока 2, вращающегося вокруг неподвижной оси;

– кинетическая энергия блока 3, совершающего плоское движение.

Учитывая вид движения каждого из 3^х тел системы, определим их кинетическую энергию

, (3)

где – скорость тела 1;

, (4)

где – угловая скорость вращения блока 2;

– момент инерции блока 2 относительно оси вращения;

, (5)

где – скорость центра масс G катка 3;

– угловая скорость вращения блока 3;

– момент инерции блока 3 относительно оси, проходящей через его центр масс.

Все скорости, входящие в формулы (3) – (5), необходимо выразить через . Для этого учтём, что P – мгновенный центр скоростей, тогда , угловая скорость , а , откуда . Скорость груза 1 равна скорости точки А блока 2, которая определяется как .

Подставляя выражения для , и , найденные через , в (3) – (5) и затем в (2) получаем

. (6)

3. Далее определяем работу всех внешних сил, приложенных к системе на перемещениях точек их приложения, выраженных через . К системе приложены следующие внешние силы: силы тяжести , реакции опор , пара сил, образующая момент сопротивления, сила , приложенная к грузу 1 и сила упругости пружины. Работа сил равна нулю, так как сила перпендикулярна перемещению точки её приложения, силы и приложены в неподвижной точке, а точкой приложения силы является мгновенный центр скоростей (точка Р). Работы остальных сил определяются следующим образом:

; (7)

; (8)

. (9)

Для определения перемещения центра масс катка 3 – выразим скорость через ,

, тогда .

Подставляя полученные выражения для в (9), находим

. (10)

Работа момента сопротивления определяется по формуле

, (11)

где – угол поворота блока 2, соответствующий перемещению груза 1 на величину , тогда

. (12)

Работа силы упругости пружины определяется как

, (13)

где – начальная деформация пружины;

– конечная деформация (удлинение) пружины, равная перемещению точки Е, т.е.

. (14)