Представление и обработка чисел в компьютере Системы счисления

ЧИСЛО имеет ЗНАЧЕНИЕ и ФОРМУ ПРЕСТАВЛЕНИЯ. Последняя определяет порядок записи числа с помощью предназначенных ля этого знаков. При этом ЗНАЧЕНИЕ является инвариантом, то есть не зависит от способа его представления.

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел.

В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые базовые символы (цифры), и все числа получаются в результате строго определенных операций над ними. Число таких базовых символов называется основанием системы счисления.

Существует два известных типа систем счисления: непозиционные и позиционные.

В непозиционных системах счисления каждая цифра имеет одно и тоже значение независимо от положения в записи числа (значение знака не зависит от того места, которое он занимает в числе).

Непозиционной системой счисления является самая простая система с одним символом (палочкой). Для изображения какого-либо числа в этой системе надо записать количество палочек, рав­ное данному числу. Например, запись числа 12 в такой системе счисления будет иметь вид: 111111111111, где каждая «палочка» обозначена символом 1. Эта система неэффективна, так как фор­ма записи очень громоздка.

К непозиционной системе счисления относится и римская, сим­волы алфавита которой и обозначаемое ими количество представ­лены в табл. 1.

  

Таблица 1

 

Римские цифры	I	V	X	L	С	О	м
Значение (обозначаемое количество)	1	5	10	50	100	500	1000

 

 

 

 

 

 

В общем случае непозиционные системы счисления характери­зуются сложными способами записи чисел и правилами выполнения арифметических операций.

В настоящее время наиболее распространены позиционные системы счисления. Все обрабатываемые данные в персональных компьютерах представлены в виде кодов и чисел в позиционной системе счисления.

Конкретное значение числа в позиционной системе определяется не только самими его цифрами, но и местоположением каждой из цифр, т.е. цифры имеют разный вес в записи числа. Примером такой системы счисления является привычная нам десятичная система счисления. Эта система использует десять базовых символов (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. В позиционной системе счисления число может быть представлено в виде суммы произведений коэффициентов на степени основания системы счисления. Например, число 1909 можно представить в виде многочлена по степеням основания:

 

1*10³ + 9*10² + 010¹ + 9*10⁰

 

Основание системы счисления может быть отличным от 10. Запись произвольного числа X в системе счисления по основанию R имеет вид:

X = a_n*Rⁿ + a_n-1 *R^n-1 + ... + a₁ *R¹ + a₀ *R⁰, а цифры a_i принадлежат 0, ... , R-1.

 

В компьютерных науках используется несколько позиционных систем счисления: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления.

 

Двоичная система счисления

 

Особая значимость двоичной системы счисления в информатике определяется тем, что внутренне представление любой информации в компьютере является двоичным, то есть описываемым наборами только из двух знаков – 0 и 1. Цифра двоичной системы счисления хранится в элементарной ячейке памяти, называемой битом. Бит – это наименьшая единица измерения количества информации, известная в природе (да - нет).

Восемь бит обеспечивают основу для двоичной арифметики и для представления символов в памяти компьютера. Восемь бит дают 256 различных комбинаций включенных и выключенных состояний: от "все выключены" (00000000) до "все включены" (11111111). По соглашению биты в байте пронумерованы от 0 до 7 справа налево, как это показано в таблице:

 

 

Номера битов:	7	6	5	4	3	2	1	0
Значения битов:	0	1	0	0	0	0	0	1

Двоичная система счисления является позиционной, а соответственно значение двоичного числа определяется позицией каждого бита. В общем виде число в двоичной системе счисления представляется в форме:

X = a_n*2ⁿ + a_n-1 *2^n-1 + ... + a₁ *2¹ + a₀ *2⁰ a_i принадлежат 0, 1

Двоичное число не ограничивается только восьмью битами. В зависимости от архитектуры компьютера, он оперируют 16-битными, 32-битными, 64-битными представлениями чисел. Правила арифметики во всех позиционных системах одинаковы.

Таблица сложения в двоичной системе счисления имеет вид:

 

0	+	0	=	0
0	+	1	=	1
1	+	0	=	1
1	+	1	=	10

При сложении осуществляется перенос избытка из одного столбца в другой.

Таблица умножения в двоичной системе счисления имеет вид:

 

0	х	0	=	0
0	х	1	=	0
1	х	0	=	0
1	х	1	=	1

 

Замечание: если справа приписать 0, то двоичное число удваивается, а в 10-ой удесятеряется, а в 16-ой ушестнадцатиряется.