10.1. Балансные уравнения синтеза клеточных,

_{ЯЧЕИСТЫХ СТРУКТУР, ИХ ОПЕРАТОРНАЯ ФОРМА}

_{ВЕЙЕРШТРАССА.}

_{(МНОГОЛЕНТОЧНЫЕ МАШИНЫ А.ТЬЮРИНГА –}

_{их алгебраическтй блок)}

Балансные уравнения (9₀-12, см.вып.1,стр.48)

s= 0

а₀ = 1/2; ₀ =1/2; (9₀)

s = 1,2,...,s₀ (9₁)

a_s = 2a_{s -1} (9₂)

s s₀+1, (10)

a_s=2a_s-1-bs-s₀+ s-1-s₀ bs-1-s₀ (11)

_s= _{s -1}+a_{s -1} (12)

описывают размножение клеток по дихотомии и его рассинхронизацию начиная со стадии s₀ + 1. На стадии s – 1 - s₀ происходит возврат к размножению клеток, уже прошедших дифференцировку, причем _s-1-_s таковы, что произведение _{s-1-s0 bs-1-s0} или число возвращаемых клеток на размножение должно быть обязательно целым.

Перед тем как придать уравнению (11) операторную форму перепишем его несколько иначе:

bs-s₀ = ( b)s-1-s₀ + 2a_s-1 - a_s (s₀ = 2) (1)

а затем в операторном виде

, (2)

используя в качестве оператора сдвига обозначение

, (3)

Форма (2) является эквивалентом записи уравнения в виде

Y²_s = _s Y³_s + 2Х_s – Х₀ , (4)

которое не является непосредственно формой Вейерштрасса, как не очень точно утверждалось нами на 55 стр. вып 1.

Cейчас мы покажем, что при определенных ограничениях наше балансное уравнение при s₀ = 2 имеет именно такую

форму, поскольку оно является частным случаем общего вида кубического уравнения [33] :

F(x,y,w) = C_yyyy³ + C_xyyxy² +C_xxyx²y + C_yywy²w + + C_xywxyw + C_ywwyw² + C_xxxx³ + C_xxwx²w + + C_xwwxw² + C_wwww³ (5)

В аффинной форме (w = 1) и при

C_xxy = C_xyy = C_xyw =

C_yww = C_xxx = C_xxw = 0, (6)

обозначая

a C_yyy; C_yy1= -1 ;

2b C_xww; c C_www,

получим для

F(x,y,1) = ay³ – 1y² + 2bx + c (7)

Таким образом, наше уравнение (4) принадлежит одной из форм (7) общего кубического уравнения (5)

Далее. Но поскольку следующее уравнение

Y² + a₁xy + a₂y = x³ + a₂x² + a₄x + a₆ = P(x) (8)

является формой Вейерштрасса общего типа для опять же общего кубического уравнения вида (5), то его, как показано

в [ ], можно с помощью проективного преобразования Ф привести к виду

y² = x³ + Ax + B , (9)

исходя из записи

F^ф(x,y,w)=

=y²w+a₁xyw+a₃yw-x³–a₂x²w–a₄xw²–a₆w³ (10)

по результату применения проективного преобразования

Ф = Ф₃Ф₂Ф₁ , (11₀)

где Ф₁(x₀,y₀,w₀)= (0,1,0)-матрица-строка (12)

Ф₂^-1 = (13)

Ф₃^-1 = (14)

а t = C_yyw/C_xxx

Итак, если указанное проективное преобразование существует, если F такая кубическая кривая над полем к, что (х₀, у₀,w₀) является её точкой перегиба, то, подчеркиваем, согласно следствию (2.13) (стр.56-60, [33, вып.3]) неособая кубическая кривая над алгебраически замкнутым полем к с характеристикой не равной двум, всегда имеет точку перегиба и, следовательно, такая (кубическая) кривая приводится к форме Вейерштрасса с помощью определенного проективного преобразования (после проверки не является ли точка вида (х₀, у₀,1) неособой точкой). Приведем здесь также 2-ю часть упомянутого следствия (2.13): неособая кривая 2-го порядке не имеет точек перегиба, а неособая плоская кривая степени больше двух имеет по крайней мере одну точку перегиба.

В заключение добавим, что обычно задана эллиптическая кривая, и только потом решается задача определения на этой кривой или рациональных ( ), или целочисленных точек на плоскости. В нашем случае реализована обратная ситуация: балансное уравнение (11) в ходе его решения обеспечивает целочисленность ответа, а алгебраический вид этого уравнения (11) определяет операторную форму уравнения типа Вейерштрасса: наша форма при определенных условиях может обеспечить этот указанный тип. Таким образом, в некоторых случаях может быть реализована глубокая связь развиваемой идеологии с вполне оформленным аппаратом эллиптических кривых. Отметим, что требуемый полноценный анализ указанных условий еще не завершен.

* * *