В более усложнённом, нелинейном –

(7)

Конечно, разбиение (5) индуцирует более мелкое разбиение времён

, (8)

но его закон разбиения, хотя бы по типу (5) нам пока не известен, не смоделирован.

Наконец. Введём целые положительные числа а_s, числа клеток, делящихся по дихотомии на s-ом шаге, s-шаге, а также числа _s, числа всех клеток к s-му шагу (или сум-ме) всех событий деления и смерти клеток, смерть интер-претируется как дифференцировка. Тогда уравнения баланса для всех клеток и событий примут вид

s= 0

а₀ = ½; ₀ =1/2; (9₀)

s = 1,2,...s₀ (9₁)

a_s = 2a_{s -1} (9₂)

s s₀ + 1, (10)

a_s = 2a_{s -1} - b_s-s0 + _s-1-_s0 b_s-1-s0 (11)

_s = _{s -1}+a_{s -1} (12)

9₀-ым условием учитывается наличие гамет до акта оплодотворения (на s=о шаге), поскольку половые гаметы содержат половину генов соматических клеток. Рассинхронизация дробления клеток начинается со стадии s= s₀ + 1, bs-s₀ - число клеток, отправляемых на s-ом шаге на дифференцировку, а произведение . _s/ b_s/ - число клеток, возвращаемых в класс делящихся клеток

на последующем шаге в доле _s/, где s^/=s-1-s₀. Произведение _s/ b_s/ должно быть целым и 0 s 1. Т.е. нельзя возвратить на тиражирование больше клеток, чем их было отправлено на дифферен-цировку на предыдущем шаге.

Отметим важное свойство уравнений (4,5,8), оправдавшееся сравнением выводов из модели с опытом: то, что эти уравнения имеют треугольную форму суммирования, означает, что именно на s-ом шаге развития появляется не более s-сортов клеток (замечание А). Этому положению можно придать и более философичную форму: в сложных системах соответствующее время индуцирует ему соответствующую структуру, или, время и структура (и геометрия пространства - тоже) соответствуют друг другу .

Можно здесь выразиться грубее: нет «пробуксовки времени», «бездарно» проведённого времени. Описываемая модель обладает некоторой внутренней свободой: в ней (пока) не фиксируются поименно те клетки, которые уходят на дифференцировку. Частично они ранее, и даже много шагов назад, могли уже пройти дифференцировку, чтобы в последующем подвергнуться додифферецировке. Т.е. сам процесс дифференцировки может считаться мно-гоэтапным и перекрывающимся. При замене a_s на аллельные частоты весь предлагаемый формализм пригоден в популяционной генетике.

Свойства некоторых решений уравнений (4,5,9-12)- (б)

Впервые одно решение уравнения (4) при всех s привёл в [13, Л-3] Вацлав Серпинский:

s=1, X_1,1=1; s=2,3,5 - нет целочисленных, диофантовых решений ;

s=4 : Х_4,i=2, i=1,2,3,4;

s=6 : Х_6,i=2, i=1,2,3 ; Х_6,i=3, i=4,5 ; Х_6,6=6;

s=7 : Х_7,i=2, i=1,2,3 ; Х_7,i=4, i=4,5,6,7;

s=8 : Х_8,i=2, i=1,2,3 ; Х_8,i=3, i=4,5 ;

Х_8,6=7, Х_8,7=14, Х_8,8=21. и т.д. см. [7, Л-2;14, Л1].Теперь мы для этого варианта решений приведём разбиение согласно (5)

b_s на b_s,i :

b₁ = 1;

b₄ = 2² = 4 = 1₁ + 1₂ + 1₃ + 1₄;

b₆ = (2 3)² = 36 = 9₁ + 9₂ + 9₃ + 9₄ ; 9₄ = 4₁ + 4₂ + 1;

b₇ = (2 2)² = 16 = 4₁ + 4₂ + 4₃ + 1₁ + 1₂ + 1₃ + 1₄ ;

b₈ = (2 3 7)² = 1764 = 441₁ + 441₂ + 441₃ + 196₁ + 196₂ + 36 + 9 + 4 ;

b₉ = (2² 3)² = 144 = 36₁ + 36₂+ 36₃ + 16₁ + 16₂ + 1₁ + 1₂ + 1₃ + 1₄ ;

b₁₀ =(2³)² = 64 = 16₁+ 16₂ + 16₃ + 4₁ + 4₂ + 4₃ + 1₁ + 1₂ + 1₃ + 1₄.

b₁₁ = (2 3 7)² = 1764 = 441₁ + 441₂ + 441₃ + 196₁ + 196₂ + 36 + 9 + 1₁ + 1₂ + 1₃ + 1₄. ; и. т.д. [7, Л-1]