1. Теория устойчивых, безгранично

ДЕЛИМЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Эвристической основой уравнений дифференцировки диофантовой модели [7, Л-1] послужило давно обнару-женное эмпирическое распределение Ципфа-Лотка -Па-рето (-рЦЛП) с характеристическим показателем , кото-рое нашло применение в лингвистике и экономике, в науковедении и таксономии, в популяционной генетике и демографии при соответствии значениях [46, Л-1]. В некоторых работах эта универсальность рЦЛП связыва-ется с общностью описываемых им явлений, в основе которых лежат сложные детерминированные процессы дискретной, алгоритмической природы, сопровождаемые ростом структурной гетерогенности.

По отношению к гаусовым распределениям рЦЛП р(х, ) = А/x¹⁺ c =1 обладает определенной выделенностью, поскольку является асимптотическим пределом для закона Коши. который не имеет математического ожидания или среднего, а также не имеет дисперсии. Распределение Коши, как и гаусовые, порождается безгранично делимыми и устойчивыми случай-ными процессами, но в отличии от гауссовых распределений, является предельным распределением для сумм разрывных, с произвольными по величине скачками случайных процессов [25-28, Л-1]. Выглядит распределение Коши так:

,

асимптотической формой которого является рЦЛП при =1. Таким образом, есть вполне определенные основания для выделенности рЦЛП и его использования в биодинамике [46, Л-1], хотя бы из-за явно кодового характера биодинамики [47-50, Л-1] и ее иерархических структур.

Теоретическое естествознание, встречая проблемы, связанные со сложностью массовых изучаемых явлений, уже не раз удачно их преодолевало, в частности, путем использования соответствующего статического форма-лизма, а если говорить точнее, предельных теорем теории вероятности.

Суть дела такова, что не существует каких-либо статистических понятий и схем без введения понятия вероятности или частоты массового события, а частота, в свою очередь, обретает какой-либо смысл, если существуют схемы суммирования событий и оценка их устойчивости или достоверности. Т.е. суммирование и проблема устойчивости результата суммирования требуют предельных теорем иногда для условно «случайных» событий.

Широкие круги «потребителей-прикладников» почти не знакомы со следующей ситуацией:существуют процессы, которые приводят к такой значительной неустойчивости частоты при попытке её воспроизведения, что сама постановка о воспроизводимости ее величины при повто-рении опыта лишена какого-либо смысла, ибо у частоты отсутствует среднее и дисперсия. Также лишено смысла по этой причине безгранично увеличивать выборку - существующая для ограниченной выборки выборочная дисперсия при увеличении ее объема в лучшем случае не имеет предела. Со слегка похожей ситуацией генетик встречается при подсчете частоты в ходе семейного анализа, когда автоматически, априори, достоверность анализа (математической его части) равна строго 100%. В этом случае, подчеркнем, частота из вероятностной, случайной категории, переходит в строго детерминиро-ванную.

Частоты событий получаются в результате накапли-вания, суммирования однотипных актов, трактуемых как случайные даже в строго детерминированном варианте, и поэтому абсолютно все известные естествознанию распределения частот или долей появляются в ходе суммирования случайных величин, которыми, например, в случае частот служат нули и единицы, появляющимися в произвольном порядке.

Наиболее содержательные, законченные результаты, мимо которых в абсолютном большинстве прошли все ведущие генетики-теоретики вплоть до наших дней (для суммируемых величин в теории предельных теорем

основные результаты были получены в 20-40-х годах это-го века благодаря трудам П. Леви, А.Н. Колмогорова, А. Я. Хинчина и Б. В. Гнеденко [25-27, Л-1] . Весьма важные результаты были получены также В. М. Золотаревым в более позднее время ).

Труды этих исследователей существенно обобщили закон больших чисел, или точнее , центральную предельную теорему теории вероятностей.

В определенном условном смысле произошло заверше-ние фундаментального раздела математики благодаря введению понятия безгранично делимых случайных и устойчивых распределений при их композиции или свер-тке. Если случайная величина может быть для любого n представлена в виде суммы

, (1)

то безгранично делима. Поскольку , то матрица -треугольная, а схема суммирования (1) называется треугольной схемой, в которой в частных случаях - взаимно независимые и одинаково распределенные величины.

Далее. Если символом «*» обозначить операцию свертки

(2)

или (3)

то распределение F называется устойчивым, если для любых a_1,2>0 и b_1,2 найдутся такие а>0 и b , что

F(a₁x +b₁) *F(a₂x +b₂) = F(ax + b) (4)

Отметим, что в (3) интеграл понимается в смысле Стильтьеса, а Р_1,2 являются ступенчатыми функциями.

Таким образом, аддитивность (1) случайных величин влечет мультипликативность распределений:

(5)

В свою очередь (5) индуцирует аддитивность логарифма характеристической функции распределений:

(6)

(7)

(8)

Последнее свойство (8) фактически позволило Финнети, Леви и Колморову предложить аддитивные интегральные канонические представления для логарифма харак-теристической функции безгранично делимого и устой-чивого распределения.

В силу того, что, соответственно, для распределения Гаусса и Пуассона логарифмы характеристических функции представляются в виде

и (9)

, где (10)

и - параметры этих законов, - величина типового скачка, наиболее общим видом для бесконечно делимых и устойчивых распределений будет представление П. Леви (формула Леви):

, (11)

где распределения скачков M и N ступенчатых или спек-тральных функций задаются в виде (u - величина скачка):

	М (u)	N (u)
0< <2	c1 /	-c2 / u	0	c1 0; c2 0; c1 + c1 > 0
=2	0	0	0

(12) Важно пояснить, что в (11) слагаемое

(13)

введено по следующим причинам. Числитель itu необ-ходим для компенсации расходимости интеграла из-за возможных малых скачков с большой частотой, когда их полная плотность может обратиться в бесконечность. Знаменатель 1+u² компенсирует расходимость ln f(t) при равном бесконечности. Представление Леви позво-ляет явно вычислить все интегралы. Хотя это еще не означает выражаемость, например, через спецфункции самой плотности распределения. Ее явный и элемен-тарный вид известен лишь для трех случаев: закона Гаусса, Коши и Леви-Смирнова.

После вычислений по формуле (11) получается следую-щее 4-х параметрическое выражение для логарифма ха-рактеристической функции плотности распределения устойчивых, безгранично-делимых распределений:

, где (14)

, Причем, (15)

(16)

- закон Коши. (В физике - это кривая Лоренца). Для него Р(х)=-1/2 + arctg (x / ) , , .