1.3. Способ перебора всех возможных
РЕШЕНИЙ ПРИ ФИКСИРОВАННЫХ
ЗНАЧЕНИЯХ bs .
Выражение(см.
определение (3))bsi=bs/Хsi2
эквивалентно (очевидно, при Хsi
неравном 0 ) уравнению
.
При разных s
значения bs
могут быть одинаковыми. Обозначим их
просто b
без индекса. А одинаковые значения bsi
при разных s
обозначим bi
.Введем d=
и представим d
как произведение d=П
di
. Например, d=8
=
=1*2*2*2. Все вероятные bi
для
своего b
будут равны квадратам ci
произведений di
в разных сочетаниях. Для d=8,
например, {ci}={1,
2, 4 , 8}, {bi}={1,
4, 16, 64}.
Соответственно, для d=4, {bi}={1,4,16}, для d=6{bi}={16, 36, 64}.
Перечисление
всех решений (bs,
bsi)
для каждого отдельного взятого s
- задача сложная и не решенная (из-за
быстрого роста числа решений с ростом
s
и неизвестного их полного числа для
каждого s).
Однако, для каждого значения b
относительно легко перечислить все
возможные варианты решений (bs,
bsi
) при всех возможных для них s,
используя разложения b
в системе счисления с основанием {
}={
}
Значения b у нас могут быть только квадратами целых чисел d. Поэтому
b {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144 ...}
Т.е. нам надо последовательно перебирать разложения b, начиная с меньших, по bi , используя соответствующее{ }. Нам для практических задач совсем не всегда важно знать, имеем ли мы все решения для данного s, но очень важно знать, знаем
ли мы все разложения b меньше некоторого заданного значения в каждом конкретном случае, поскольку каждый реальный объект, структуру которого мы хотим разбить по ДТА-57, имеет ограниченное, конечное число элементов, меньшее некоторого b.
При d=1, b=1 имеем вырожденный случай. d=1
-
{
}{
}ni
1
1
1
s
1
Имеем одно решение 1=1, ni-число слагаемых bsi=bi в данном решении (bs, bsi) ;
при d=2, b =4, d=1*2.
-
{ }
{ }
ni
2
4
1
0
1
1
0
4
s
1
1
4
имеем два решения: 4=4-это решение сократимое до 1=1, не удовлетворяет требованию минимального значения bs для своего разложения 1 на обратные квадраты, второе - 4=1+1+1
при d=3, b =9, d=1*3.
-
{ }
{ }
ni
3
9
1
1
1
0
9
s
1
1
9
первое решение опять сводится сокращением к 1=1,
второе - реальное 9=9(1);.
при d=4, b =16, d=1*2*2.
-
{ }
{ }
ni
4
16
1
0
0
0
0
0
2
4
0
4
3
2
1
0
1
1
0
0
4
8
12
16
s
1
1
4
7
10
13
16
первые два решения, сократимые до 1=1 и 4=4(1) и нам не подходят.
Остальные четыре-подходят :
16 = 3(4) + 4(1) =2(4) + 8(1) = 1(4) + 12(1) = 0(4) + 16(1).
при d=5, b =25, d=1*5
-
{ }
{ }
ni
5
25
1
0
1
1
0
25
s
1
1
25
дает одно полезное решение 25=25(1);.
при d=6, b =36, d=1*2*3
{ } |
{ } |
ni |
||||||||||||||||||||||||||||
6 |
36 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||||||||||||||
3 |
9 |
0 |
4 |
3 |
3 |
3 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|||||||||||||||
2 |
4 |
0 |
0 |
2 |
1 |
0 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
6 |
5 |
4 |
3 |
|||||||||||||||
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
5 |
9 |
2 |
6 |
10 |
14 |
18 |
3 |
7 |
11 |
15 |
|||||||||||||||
s |
1 |
1 |
4 |
6 |
9 |
12 |
8 |
11 |
14 |
17 |
20 |
10 |
13 |
16 |
19 |
|||||||||||||||
|
{ } |
{ } |
ni |
|||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
36 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||||||||||||||
|
3 |
9 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||||||||||||||
|
2 |
4 |
2 |
1 |
0 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
|||||||||||||||
|
1 |
1 |
19 |
23 |
27 |
0 |
4 |
8 |
12 |
16 |
20 |
24 |
28 |
32 |
36 |
|||||||||||||||
|
s |
1 |
22 |
25 |
28 |
9 |
12 |
15 |
18 |
21 |
24 |
27 |
30 |
33 |
36 |
|||||||||||||||
здесь все решения подходят, кроме первых двух столбцов, дающих сократимые решения ;.
при d=7, b =49, d=1*7
-
{ }
{ }
ni
7
49
1
0
1
1
0
49
s
1
1
49
-здесь будет одно полезное решение 49=49(1);
при d=8, b =64, d=1*2*2*2
-
{ }
{ }
ni
8
64
4
16
2
4
1
1
s
1
Перебор и перечисление можно продолжать по указанной схеме. Затем, значения b распределяются по значениям s.
ПРИМЕЧАНИЕ
До сих пор мы всё ещё не привели общие решения
(-только их элементарные протоколы -стр. 112-115) многопараметрической системы уравнений (90-12)](I-й выпуск книги или Приложение 2,стр.364).
Они
выглядят для as
и
так
[11,2,9]
:
as
= 2s-1
, s
.
(1)
(2)
=
2s-1
, s
.
(3)
(4)
Эту довольно «однообразную» модель ниже мы попы-
таемся трансформировать одновременно в более прос-тую и в более гибкую модель суммирования bs для не-которого подмножества s.Отметим, что у таких задач имеются весьма «солидные» предшественники-задачи оптимального размена монет и купюр Д. И. Менделее-ва.