1. Поиск решений диофантовых уравнений

ДИФФЕРЕНЦИРОВКИ В ОБРАТНЫХ КВАДРАТАХ

И РАЗБИЕНИЯ КВАДРАТОВ НА КВАДРАТЫ

1.1. Простейшие решения

(в элементарном изложении)

Читая В. Серпинского

[12], Л-3, Выпуск I.

Согласно определению([1_1,2],(см.стр.363))

b_si= b_s/ (Хsj)² (3)

при всех s и i , i=s+1-j, целых b_si и Хsj, минимальном b_s ,

мы ищем решения уравнений (при малых s)

1= 1/ , i [1,s] , (4)

получившихся из разбиения

(5_1,2)

при сложении левых и правых частей определения (3) по i при последующем сокращении на b_s . Равенства (3, 5_1,2) дают возможность по уже известным Хsj также строить разбиения квадратов на квадраты (сохранена нумерация формул вып.I).

Итак. Хsi у нас могут принимать целые значения 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Соответственно, 1/Хsi² примут значения 1/1, 1/4, 1/9, 1/16, 1/25, 1/36, 1/49, .... и среди них существуют обязательно два или более слагаемых одинаковых- сумма (4) не может состоять только из разных слагаемых, ([12], Л-3,Выпуск I.). Очевидно, что при s=1 существует единственное решение Хsi =1. Или: Х₁₁=1. Из уравнения (5₁) при этом следует, что неизвестные b₁=b₁₁=1. Или : 1²=1² =1² .

Следующее максимально возможное значение 1/Хsi² после 1/1 будет равно 1/4. Разложение (4), имеющее минимальное значение для s и не включающее Хsi =1, очевидно, будет 1 = 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 4(1/4). При этом, включение любого слагаемого с Хsi >2, очевидно, приведет к увеличению s по сравнению c s=4. Поэтому при s=4 существует только одно указанное решение: будет 1 = 4(1/4). Решение для уравнения (5₁) при s=4 будет 4=1+1+1+1,.( 2²=1²+1²+1²+1²)

Поскольку у нас нет значений 1/Хsi² больше 1/4 отличного от 1/1 и это последнее употребляется только однократно при s=1, то при s=2,3 решений нет.

Значения s минимальны при максимальных использованных значениях 1/Хsi². Решение с 1=4(1/4) мы уже рассмотрели. Теперь рассмотрим решения вида 1=3(1/4) + ∑^/1/Хsi² где неизвестные слагаемые 1/Хsi² < 1/4. Следующее по величине после 1/4 значение 1/Хsi² будет равно 1/9. 1/4 = 1/9 +∑^{/ /} 1/Хsi² .

∑^{/ /} 1/Хsi² = 1/4 -1/9 =(9-4)/36 = 5/36 = 4/36 +1/36 =1/9 +1/36. Отсюда имеем еще одно оптимальное по размеру слагаемое - 1/9. Поскольку 1/4 > 2(1/9), то в разложении 1/4 дальше не может быть меньше одного слагаемого. Оно у нас равно 1/36. Поэтому минимальное значение s после s=4 , будет равно 6.

Решение для уравнения (5₁) b_s=∑b_si при s=6 будет 36=9+9+9+4+4+1. (6²=3²+3²+3²+2²+2²+1²,здесь есть две группы с несколькими одинаковыми слагаемыми).1=3(1/4)+2(1/9)+1(1/36). s=3+2+1=6. И для s=5 решения не существует. Заметим попутно, что с каждым разложением следующей 1/4 на 2(1/9)+1(1/36) s будет увеличиваться на 2.

1 = 4(1/4) , s=4 , 4=4(1)

1= 3(1/4) + 2(1/9) + 1(1/36), s=6 , 36=3(9) +2(4) +1(1) ;

1= 2(1/4) + 4(1/9) + 2(1/36), s=8 , 36 =2(9) +4(4) +2(1) ;

1= 1(1/4) + 6(1/9) + 3(1/36), s=10 , 36 =1(9) +6(4) +3(1) ;

1= 0(1/4) + 8(1/9) + 4(1/36), s=12 , 36 =0(9) +8(4) +4(1) ;

Теперь попробуем разложить 1/4 на составляющие иначе. Следующее после 1/9 по величине будет 1/16. Имеем тогда 1/4=1/16 +∑^/1/Хsi²

∑^/1/Хsi² =1/4 -1/16 =3/16 =3(1/16). Разлагая последовательно 1/4 на четыре 1/16, имеем решения, дающие решения с s увеличивающимся на 3 :

1=3(1/4)+4(1/16). s=7, 16=3(4)+4(1). (Другого решения с s=7 нет, 4²=3(2²)+4(1²))

1=2(1/4)+8(1/16). s=10, 16=2(4)+8(1),(4²=2(2²)+8(1²));

1=1(1/4)+4(1/16). s=13, 16=1(4)+12(1), (4²=1(2²)+12(1²));

1=0(1/4)+4(1/16). s=16, 16=0(4)+16(1), (4²=0(2²)+16(1²));

Комбинируя разложение 1/4 то на 3, то на 4, состав-ляющих в решении 1=4(1/4) имеем еще решения:

число разло- жений 1/4 на 3 слагае-мых	число разло- жений 1/4 на 4 слагае мых	1=∑1/Хsi2	s	bs=∑bsi
1	1	1=1=2(1/4)+2(1/9)+ +4(1/16)+1(1/36).	9	144=2(36)+2(16)+ +4(9)+1(4)..
1	2	1=1(1/4)+2(1/9)+ +8(1/16)+1(1/36)..	12	144=1(36)+2(16)+ +8(9)+1(4)..
1	3	1=0(1/4)+2(1/9)+ +12(1/16)+1(1/36)..	15	144=0(36)+2(16)+ +4(9)+1(4)..
2	1	1=1(1/4)+4(1/9)+ +4(1/16)+2(1/36)..	11	144=2(36)+4(16)+ +4(9)+2(4)..
2	2	1=0(1/4)+4(1/9)+ +8(1/16)+2(1/36)..	14	144=0(36)+4(16)+ +8(9)+2(4)..
3	1	1=0(1/4)+6(1/9)+ +4(1/16)+3(1/36)..	13	144=0(36)+6(16)+ +4(9)+3(4)..

Здесь мы продемонстрировали вариант получения решений из предыдущих, последовательным разложением составляющих на еще меньшие

слагаемые. Так можно восполнять пространство известных нам решений для разных s. Разлагать можно не только 1/4 но и 1/9, 1/16 и остальные дроби 1/Хsi² . Такой способ позволяет быстро получить хоть какие-то решения для нужных нам s, но не дает гарантии, что мы получим все решения для данного s или все возможные разложения b_s=∑b_si при фиксированном значении для квадратов b_s .