3. Структура и классификация

I. Клеточно - ячеистый уровень -

Система уравнений диофантовой

модели - ядра(ДМЯ)-(а)

Предпосылки к открытию уравнений ДМЯ, матема-тический аппарат, создавались довольно давно. Автором работы [7, Л-1] и нами были задействованы как старые методологии Д.И. Менделеева, предвосхитившего кван-товомеханическую модель атома в своей знаменитой пе-риодической таблице элементов, так и фундаментальные достижения плеяды наших математиков - А.Н. Колмого-рова, А.Я. Хинчина, Б.Я. Гнеденко в области предельных теорем теории вероятностей для скачкообразных, устой-чивых и безгранично делимых процессов [25, Л-1].

Д.И. Менделеев писал [23, Л-1]: "...науки давно уже умеют, как висячие мосты, строить, опираясь на сово-купность хорошо укрепленных тонких нитей, каждую из которых легко разорвать, общую же связь очень трудно, и этим способом стало возможным перебрасывать пути через пропасти, казавшиеся непроходимыми. На дно не опираясь и в науках научались пересягать пропасти не-известного, достигать берегов действительности и охва-тывать весь видимый мир, цепляясь лишь за хорошо исследованные береговые устои." При этом "возможно избегнуть трёх одинаково губительных крайностей: уто-пий мечтательности, желающей постичь всё одним по-рывом мысли, ревнивой косности, самодовольствую-щейся обладаемым, и кичливого скептицизма, ни на чем не решающегося остановиться".

-45-

Также в [1, 4, Л-2] были востребованы понятия и идеи А.Н. Колмогорова в области теории алгоритмов, а имен-но - понятие сложности алгоритма, как минимальной длины программы из нулей и единиц, реализующей пере-вод объекта Y в объект Х [30, Л-1]. Далее. Одним из пре-дельных законов плотности распределения для скачко-образных процессов (- в неотнормированной форме) является закон Коши [25, Л-1]:

, (1)

чья асимптотическая форма

, х (2)

совпадает с давно известной формой закона Ципфа-Лотка-Парето:

при = 1 (3)

Последний закон, как считается, связан скорее с детер-минированными процессами [7, Л-1], чем со случайны-ми. Исходный точный закон Коши в отличие от закона, например, Гаусса, не имеет ни дисперсии, ни среднего. Или, иначе, как мы считаем, закон Коши описывает макрогетерогенность изучаемых величин, в отличие от которых нормальный закон Гаусса описывает микро-гетерогенность или микроструктуру. Обычно в области применения закона Гаусcа увеличение выборки приво-дит к стабилизации стандартного отклонения, оно име-

-46-

ет своим пределом дисперсию, тогда как при наличии закона Коши увеличение объёма выборки приводит к обнаружению её неоднородности, а какой-то устойчивый предел у стандартного отклонения - отсутствует, у него теоретически нет дисперсии. Именно эти качества закона Коши, а также огромная величина числа молекулярных актов в единичных макробиологических процессах зас-тавили автора [7, Л-1] остановиться на асимптотической форме закона Коши (2). Условие нормировки в этом случае трансформируется в диофантовое, целочисленное уравнение в обратных квадратах с несколькими груп-пами одинаковых слагаемых, представляющее собой многомерный эллипсоид:

(4)

В нём реализована треугольная форма суммирования случайных величин, безгранично делимых ( s ) и ус-тойчивых (не меняется вид распределения при их ком-позиции, свёртке). Именно такое уравнение служит в этой модели генератором чисел клеток, прошедших опре-делённые этапы дифференцировки на последовательных шагах развития. Оба отмеченных качества (устойчи-вость и безграничная делимость) в (4) реализованы: ус-тойчивость - в виде "каскадности" при дроблении s-го шага на s шагов (-см. ниже уравнения (5₁ ,5₂) и (8) ), опи-сывающее измельчение (детализацию при дифференци-ровке) b_s и соответствующих времен по отвечающих им треугольным схемам, безграничная делимость - в том же и при s .

-47-

Первоначально в величины Х_s,j вкладывался следую-щий смысл: Х_s,j - целое число операций (или шагов про-граммы), необходимое для сборки одной клетки (или од-ной функциональной единицы). Очевидно, что оно почти всегда велико, поэтому пренебречь единицей в (1) можно на законных основаниях. Если далее выбирать крупные единицы (или блоки программ ) измерения числа опера-ций, то в новых единицах числа Х_sj могут стать малыми вплоть до единицы. Такими переходами в теоретическом естествознании пользуются повсеместно и они носят ак-сиоматических характер. В целом, уравнение (4) пред-ставляет собой само законченную аксиому, а все преды-дущие рассуждения - эвристическими, наводящими. Да-лее. Мы ищем такие минимальные (в последующем не всегда) числа b_s, для которых все квадраты целочислен-ных решений (4) служат делителями. При этом получаем разбиение этого числа b_s на подклассы b_si и

. (5₁, 5₂)

Эти величины служат целыми числами клеток, отправ-ляемых на дифференцировку в момент времени t_s на ша-ге s . В самом простом линейном варианте t_s кратно вре-менному кванту _o

(6)

В более усложнённом, нелинейном -

(7)

Конечно, разбиение (5) индуцирует более мелкое разби-ение времён

-48-

, (8)

но его закон разбиения, хотя бы по типу (5) нам пока не известен, не смоделирован.

Наконец. Введём целые положительные числа а_s, числа клеток, делящихся по дихотомии на s-ом шаге, s-шаге, а также числа _s, числа всех клеток к s-му шагу (или сум-ме) всех событий деления и смерти клеток, смерть интер-претируется как дифференцировка. Тогда уравнения баланса для всех клеток и событий примут вид

s= 0

а₀ = 1/2; ₀ =1/2; (9₀)

s = 1,2,...s₀ (9₁)

a_s = 2a_{s -1} (9₂)

s s₀ + 1, (10)

a_s = 2a_{s -1} - b_s-s0 + _s-1-_s0 b_s-1-s0 (11)

_s = _{s -1}+a_{s -1} (12)

9₀-ым условием учитывается наличие гамет до акта оплодотворения (на s=о шаге), поскольку половые гаметы содержат половину генов соматических клеток. Рассинхронизация дробления клеток начинается со стадии s= s₀ + 1, bs-s₀ - число клеток, отправляемых на s-ом шаге на дифференцировку, а произведение . _s/ b_s/ - число клеток, возвращаемых в класс делящихся клеток

на последующем шаге в доле _s/, где s^/=s-1-s₀.Произведение _s/ b_s/ должно быть целым и 0 s 1.

Т.е. нельзя возвратить на тиражирование больше клеток,

чем их было отправлено на дифференцировку на преды-

дущем шаге.

Отметим важное свойство уравнений (4,5,8), оправдав-шееся сравнением выводов из модели с опытом: то, что эти уравнения имеют треугольную форму суммирования,

-49-

означает, что именно на s-ом шаге развития появляется не более s-сортов клеток (замечание А).Этому положению можно придать и более философичную форму: в сложных системах соответствующее время индуцирует ему соответствующую структуру, или, время и структура (и геометрия пространства - тоже) соответствуют друг другу

Можно здесь выразиться грубее: нет "пробуксовки вре-мени", "бездарно" проведённого времени. Описываемая модель обладает некоторой внутренней свободой: в ней (пока) не фиксируются поименно те клетки, которые ухо-дят на дифференцировку. Частично они ранее, и даже много шагов назад, могли уже пройти дифференцировку, чтобы в последующем подвергнуться додифферецировке. Т.е. сам процесс дифференцировки может считаться мно-гоэтапным и перекрывающимся. При замене a_s на аллельные частоты весь предлагаемый формализм пригоден в популяционной генетике.

Свойства некоторых решений

уравнений (4,5,9-12)- (б)

Впервые одно решение уравнения (4) при всех s привёл в [13, Л-3] Вацлав Серпинский:

s=1, X_1,1=1; s=2,3,5 - нет целочисленных, диофантовых решений ;

s=4 : Х_4,i=2, i=1,2,3,4;

s=6 : Х_6,i=2, i=1,2,3 ; Х_6,i=3, i=4,5 ; Х_6,6=6;

s=7 : Х_7,i=2, i=1,2,3 ; Х_7,i=4, i=4,5,6,7;

s=8 : Х_8,i=2, i=1,2,3 ; Х_8,i=3, i=4,5 ;

-50-

Х_8,6=7, Х_8,7=14, Х_8,8=21. и т.д. см. [7, Л-2;14, Л-1].

Теперь мы для этого варианта решений приведём разбиение согласно (5)

b_s на b_s,i :

b₁ = 1;

b₄ = 2² = 4 = 1₁ + 1₂ + 1₃ + 1₄;

b₆ = (2 3)² = 36 = 9₁ + 9₂ + 9₃ + 9₄ ; 9₄ = 4₁ + 4₂ + 1;

b₇ = (2 2)² = 16 = 4₁ + 4₂ + 4₃ + 1₁ + 1₂ + 1₃ + 1₄ ;

b₈ = (2 3 7)² = 1764 = 441₁ + 441₂ + 441₃ + 196₁ + 196₂ + 36 + 9 + 4 ;

b₉ = (2² 3)² = 144 = 36₁ + 36₂+ 36₃ + 16₁ + 16₂ + 1₁ + 1₂ + 1₃ + 1₄ ;

b₁₀ =(2³)² = 64 = 16₁+ 16₂ + 16₃ + 4₁ + 4₂ + 4₃ + 1₁ + 1₂ + 1₃ + 1₄.

b₁₁ = (2 3 7)² = 1764 = 441₁ + 441₂ + 441₃ + 196₁ + 196₂ + 36 + 9 + 1₁ + 1₂ + 1₃ + 1₄. ; и. т.д. [7, Л-1]

Остальные в_s до 32 шага выпишем без разбиения на слагаемые:

b₁₂ = 576 ; b₁₅ = 2 304 ; b₁₈ = 9 216 ; b₂₁ = 36 864 ;

b₁₃ = 256 ; b₁₆ = 1 024 ; b₁₉ = 4 096 ; b₂₂ = 16 384 ;

b₁₄ = 7 056 ; b₁₇ = 28 224 ; b₂₀ = 112 896 ; b₂₃ = 451 584 ;

b₂₄ = 147 456 ; b₂₇= 589 824 ; b₃₀ = 2 359 296 ;

b₂₅ = 65 536 ; b₂₈ = 262 144 ; b₃₁ = 1 048 576 ;

b₂₆ = 1 806 336 ; b₂₉ = 7 225 344 ; b₃₂ = 28 901 376 .

-51-

Этот ряд решений иллюстрирует отмеченную ранее периодичность с шагом s = 3 в силу разбиения 1-цы на четыре слагаемых при росте s. Также существуют и другие периоды в решениях (4) с шагом s_k = k² - 1, k =3,4,5, ... , _s =8,15, и т.д. (следствие приёма В. Серпин-ского при поиске решений с новыми s):

а) i 9 ; б) ;

в) ; г) .

Эти соотношения для выбранного Серпинским и нами Х_s,i позволяют по трём первым значениям в_k определить все последующие. Решений уравнений (4) нам сейчас из-вестно около 2000. Ветвление числа решений начинается с s = 8. На этом шаге их известно три. Наконец, приведем довольно важный результат, полученный А.В. Стояно-вым [13-14, Л-1]. Это пока наилучший вариант ДМЯ с весьма большим ростом скорости дифференцировки. b₈= 1 764 ; b₉ = 144 ; b₁₀ = 176 400 ; b₁₁ = 8 643 600 ; b_{12 =} 713 530 944. Из этих цифр видно, что на 4-х последних шагах рост составил 4 955 076 раза. Этот пример (В-вариант) демон-стрирует, что даже наличие большого s₀ = 19 не гарантия роста системы, на 31-м шаге начинается спад числа деля-щихся клеток. Этот пример показывает, что при росте сложности(числа дифференцированных клеток) быстрее экспоненты при любых начальных условиях наступает спад или остановка развития, даже гибель системы. Эта теорема еще ждёт хотя бы эмпирического своего доказа-тельства на максимально мощном компьютере.

-52-

Многообразие числа решений системы (5,6,10-13) опре-деляется также числами s₀ и набором { s }. Число разных s при фиксированном s определяется общими для всех Х_s,i делителями b_s , для решения Серпинского - это чет-вёрка. Поэтому s могут принимать только пять значе-ний: s = 0, 1/4, 2/4, 3/4, 1 при всех s. Наконец, отсутствие решений (4) при s = 2,3,5 трактуется нами пока как отсут-ствие дифференцировки на этих шагах развития, т.е. b₂ = b₃ = b₅ = 0.

То, что ветвление числа решений происходит только после 7-го шага развития свидетельствует об универ-сальности модели до 7-го шага включительно, т.е. об её пригодности для описания многоклеточных организмов одними и теми же уравнениями ранних этапов развития. Именно это и наблюдается для большинства организмов в реальности.

Число самых разных вариантов модели огромно. Поэ-тому для выделения и ограничения числа анализи-руемых решений ДМЯ в работе [7, Л-1] был введён вариационный принцип отбора максиминимакса, оставляющий для анализа и сличения с опытом только те варианты решений, которые удовлетворяют требованиям максимума сложности (числа дифференцированных клеток) готового организма при минимуме делящихся клеток в многоклеточных системах (в принципе, бесконечных) на каждом шаге развития. Отметим, что наличие отрицательного слагаемого в (11) должно трактоваться как возможная остановка развития на соответствующем шаге, если получаются отрицательные значения числа делящихся клеток. При реализации вариационного принципа получен результат о выделенности интервала развития на шагах s = 11,12 -20,21 , так как при этих s этот прин-

-53-

цип требует уменьшения числа _s c 3/4 до 1/2. Иначе, либо система не станет многоклеточной (больше мил-лиона клеток при s₀ > 3) и не пройдёт порогового шага s=36, либо станет проще, общее число дифференциро-ванных клеток станет меньше возможного. Что касается моделей с s₀ 3, они все при любых комбинациях значе-ний s -малоклеточны. Их возможный спектр числа кле-ток приведен в [7, Л-1].

Итак. Согласно теории в процессе развития многокле-точных систем при s₀=4 наблюдается резкая выделен-ность следующих стадий: s = 5 = 1 + s₀ = 1 + 4; s = 8 = 4 + + 4; (s₀= 4 ), s [13,20] ; s = 36. Заметим, что при s₀ > 4 получаются значительно более простые системы, системы с меньшей долей дифференцированных клеток. Таким образом, величина s₀=4 существенно выделена: при меньших s₀ системы малоклеточны (порядка тысячи -клеток), и только при s₀ = 4 клеточная система может расти до бесконечности, оставаясь достаточно сложной.

Далее. На 5-м шаге начинается дифференцировка и процесс рассинхронизации: b₁ = 1, отделяется одна клет-ка. На 8-м шаге, b₄ = 4, дифференцировка усиливается, отделяются сразу четыре клетки. На этапах s = 4,6,7,9 нет какой-либо дифференцировки и это усиливает выделен-ность и роль 5-го и 8-го шагов. На 12-м шаге отправля-ется на дифференцировку чрезвычайно много клеток: b₈ = 1764, т.е. более чем в 110 раз большее число клеток, чем на 11-м шаге: в₇ = 16 клеткам. Это обстоятельство авто-матически влечёт выделенность шага s = 13: на этом ша-ге можно уменьшить передачу клеток на тиражирование, увеличивая тем самым сложность системы, не уменьшая значительно потенций к росту.

Величина интервала [13,20] c зафиксированным значе-нием функции _s =1/2, т.е. выделенность 20,21 –ых

-54-

этапов развития также определяется полиэкстремаль-ным вариационным принципом. Например, замена 2/4 на 21-м шаге ( ₂₀ =2/4) на 3/4 продиктована требованием неограниченного в последующем роста числа клеток. Видно, что стадии 20,21 (числа b₁₆, b₁₇) отличаются почти в 28 раз и одна четверть от в₁₇ составляет внушительную цифру в 7056 клеток! Посылка такого числа клеток в размножение позволяет пройти порог развития на 36-м шаге.

В заключение этого пункта приведем еще одно замеча-тельное решение системы уравнений (5,6,10-13), реше-ние, обеспечивающее минимальную скорость роста и дифференцировки (А.В. Стоянов [51, Л-1]): на 32 шагах развития подряд, начиная с шага s = 257 и по s = 288 система клеток не меняет своей численности:

_s = _s+1 = ... = _s+32 ,

хотя шаг s-й нарастает, растёт s, система "тикает". Этот пример может служить моделью клеточных часов, осно-ванных на «холостой» дифференцировке, на совершенно новом принципе, они могут служить основой для работы хроногенов. Отметим также, что система "сама входит" в режим "часов" и сама "выходит" из него. В приложении на стр.55 приведена параметризация эллиптического типа с минимальными решениями.

Примечание

При поиске решений уравнений (4,11) мы обнаружили их эллиптическую природу. (А). Уравнение многомерно-го эллипсоида(4) при соответствующей параметризации

может приобрести вид . (4а)

-55-

Если p=q=2,то i может принимать только значения

i=0,1,2,3.4.При этом, если X²=q²-i,Y²=p² i, a=q, b=(pq),

то уравнение превратится в уравнение эллипса

, (4б)

причем, поскольку

s=q² + i (p²-1), b_s=(pq)² при (4в_1,2) i=0, s(p,q,0)=4, b_s=4; i=1, s(p,q,1)=7, b_s=16; i=2, s(p,q,2)=10, b_s=16; i=3, s(p,q,3)=13, b_s=16, i=4, s(p,q,4)=16, b_s=16,

Б. Аналогично, в уравнении (11) вводя оператор сдвига

по индексу(или по кванту времени согласно уравне-нию (6) на стр.47) , (11а)

балансное уравнение(11)можно записать в виде эллипти-

ческой операторной формы Вейерштрасса (при s₀=2):

(11б)

Это неоднородное уравнение имеет также неоднородное

алгебраическое, характеристическое, эллиптическое уравнение. Для всей идеологии нашей книги эти два факта имеют первостепенное значение и его подробное освещение оставляем до 4-го выпуска.