6.2. Из пункта 6.1. И формул (40-41) вытекает, что матрицы d любую циклическую матрицу преобразует вновь в циклическую матрицу

M₁=D^-1MD (42)

6.3.Неособые циклические матрицы порядка n образуют абелеву группу относительно матричного умножения.

6.4. Циклическое отображение отвечает цикличес-кой матрице Z =M(0,1,0,...,0) - матрице определенной подстановки, Z₁ⁿ =E. . В матрицеZ все элементы равны

0 или 1-це в каждой строке и в каждом столбце нахо-дится только по одной единице. Имеет место представ-ление

M(C₀ , C₁ ,..., C_n-1) =∑C_i Zⁱ (43)

-192-

6.5. Таким образом, соответствие

=∑C_i ⁱ =∑C_i Zⁱ (44)

задает изоморфизм алгебры К[ ] на алгебру К[Z] циклических матриц порядка n над К, умножения матриц коммутативно.

6.6. Указанный пример (6.1-6.5) обеспечивает явную зависимость компонент приведенного представления произведения элементов группы подстановок через с-коэффициент n-угольников.

6.7. Далее. Пусть К содержит все корни n-й степени из 1. Эти корни является собственными значениями эндоморфизма пространства An, класс w-n- угольников - собственным подпространством, отвечающим собственному значению w - множеством n-угольников, для которых

А = wA ; (45)

атомарное разложение Аn - разложение на собственные подпространства эндоморфизма ; е_w( ) -является проекцией Аn на отвечающее корню w собственное под-пространство.

Отметим, что f(w) - коэффициент гомотетии (растяже-ния) w-n-угольника, а f( ) -- оператор растяжения и циклического отображения.

е_w( ) - атомарная циклическая проекция (стр.189 [5, Л-4],). w-n-угольник - элемент Vⁿ- пространства и

, (46)

а V (стр.180, [5, Л-4]).

6.8. Если , то все вершины n- угольника (46)

-193-

принадлежат одномерному пространству К прост-ранства V. Итак, w-n-угольник - циклический класс со степенью свободы =1, это атомарный класс, определя-емый простым делителем х-w. . Добавив ко всем w-n-угольникам тривиальный n-угольник (+ ), получим - множество всех w-n-угольников. Если К содержит все корни n-й степени из 1-цы, то тогда существует классов , где w- первообразный корень n-й степени из 1-цы. Наконец

е_w( ) = , (47)

A = е_w( )A , (48)

(204, 207 стр. [5, Л-4],).

13. Каскадная факторизация, или

каскадный гомоморфизм.

Такую каскадную факторизацию мы также будем счи-тать «вертикальной», «лестничкой», «ступенчатым» спуском из гомоморфизмов, который мы продемон-стрировали на примере трех ступеней. При этом осно-вное определение фактормножества по правильному разбиению (стр.10) используем трижды.

7.1. 1-я ступень. Любая группа изоморфма фактор группе некоторой свободной группе (61 стр. [6, Л-4], Курош ).

7.2. 2-я ступень. Пусть f(x)= C₀ + C₁ x + ...+C_n-1 x^n-1 , (49)

-194-

C_i K₁ , f(x) K[x]. Тогда подстановка х→ и f(x) → f( ) индуцирует гомоморфизм кольца K[x] на алгебру цикличеких отображений К[ ]. Ядро этого гомомор-физма - идеал, порожденный многочленом хⁿ-1.

Факторкольцо по идеалу (хⁿ-1) кольца К[х] имеет вид: К[x]/( хⁿ-1) К[ ]. ( Это 2₁ -ступень), К[ ] - подалгебра эндоморфизмов End(An). Эта подалгебра. является од-новременно групповой алгеброй (над К) циклической группы, порожденной элементом . ( ⁿ=1).

An - подпространство. Элементами фактор кольца будут смежные классы

f(x) + (хⁿ-1) [f(x)] (50)

Все смежные классы

[f(x)], [x f(x)], ... , [x^n-1 f(x)] (51)

образуют системы порождающие подпространство идеалов ([f(x)]) согласно

[f(x)]=С₀ [1]+ С₁ [x]+...+ С_n-1 [x^n-1] , (52)

Добавим, что порождающие подпространство идеалов ([f(x)]) согласно [5, Л-4],

[x], ... , [x^n-1] , (53)

- базис алгебры К[ ] размерности n, а сама алгебра К[ ] - векторное пространство. Здесь отметим, что каждая ступень может иметь свои варианты, «ветвиться». Выше изложенную, мы назовем «2₁»- ступенью. Ниже мы введем -«2₂»- ступень.

Итак.

Если ввести умножение на число, то кольцо превра-щается в алгебру. Или: если [c] - классы (из

-195-

чисел), с К и они образуют изоморфное К подкольцо кольца К[x]/( хⁿ-1) К, если по определению

с[f(x)]:= [сf(x)] , (54)

то К[x]/( хⁿ-1) превратится в алгебру над К, каждый элемент которого имеет вид [f(x)] (с_i К ). Т.е.

К[x]/( хⁿ-1) К (55)

Добавим, что любой идеал в алгебре К[x]/(хⁿ-1) является главным идеалом (f[(x)]) и подпространством векторного пространства К[ ] как алгебра над К.

Итак, изоморфизм (55) реализует нам ступень 2₂ .

7.3. 3-я ступень. Если произвести замены

х→ и f→ , где - циклическое отображение и

и (56)

- (57)

сумма С_i-x коэффициентов, тогда гомоморфизм

или (58)

будет гомоморфизмом алгебры К[ ] в поле К, или

1) К[x]/I₀ К (59)

где I₀ -максимальный идел в К[ ] ,

2) К[x]/I₀ К (60)

- множество циклический отображений таких, что

что К I₀ , которые являются сложным классом по идеалу I₀ .

* * *

-196-