8.10 Подчеркнем (стр. 153 [13, л-4] ), что идея реализации (2-ой тип ) или «воплощения» абстрактной

группы в виде «рабочего инструмента» (Р.О.Ц.) значительно «суживая» исходную группу при замене.

s → s^/ = a s a^-1 , (87)

приводит к повышению качества, ценности «аппарата», к понятиям смежных классов, инвариантных подгрупп (соответственно, подалгебр) композиционных рядов и т.д., обогащая не только саму теорию, группу, но и следующую из нее теорию линейных однородных представлений.

* * *

-203-

18. Произведения Кронекера, ряды

Клебша - Гордана и валентная связь.

8.11 В квантовой физике и химии ( в биохимии - тоже!) широко используются ковариантные величины типа «векторов, тензоров, спиноров», которые получаются с помощью процедуры прямого «кронекерового» перемножения. Оно требуется и при описании многоатомных молекул и фактически для описания типа связи атомов в молекуле, валентной связи. При этом возникают приводимые представления соответствующих групп симметрии этих молекул и отдельных их сильно связанных частей. Все эти обстоятельства относятся и к параллельному языку «представлений» - языку «характеров», «следов», «шпуров» представлений. Итак сам процесс приведения произведения представлений имеет вид ряда Клебша - Гордана (27, 165 стр. [13, Л-4]).

19. Ряд Клебша - Гордана

G_f x G_g = G_v (88)

v =f+g, f+g-2, ... f-g , (89)

Эта ф-ла (89) получается с помощью рекурентного соотношения

G_f x G_g = G_f+g +( G_f-1 x G_g-1 ) (90)

Причем, G_f x G₀ G_f . Эти соотношения рассматриваются в базисе:

x^f , x^f-1 y, x^f-2 y², ... , x y^f-1 , y^f (91)

-204-

К примеру, если ₁ и ₂ -валентности состояний симметрии 2-ух атомов, тогда результирующие состояния симметрии молекулы имеют валентности

= ₁ + ₂ , ₁ + ₂ -2,......., . (92)

ПОСЛЕСЛОВИЕ

8.12.

Итак, в этом выпуске продемонстрированы акту-альность и истоки постановки темы - проблемы сквозных закономерностей и единства теоретиче-ского описания, очевидно, взаимосвязанных всех разделов естествознания. В итоге, намечены проя-вившиеся пути адекватного решения оговоренной проблематики.

В последующих 3-4-х выпусках, частях книги бу-дут гораздо подробнее прочерчены заявленные утверждения, в особенности те упомянутые гипо-тетические связи между многочисленными тео-

ремами существования, составляющих живую ткань современного взгляда на Мир.

ПРИМЕЧАНИЕ I

8.13.

На 55-й стр. мы привели двучленную форму записи основного уравнения в обратных квадратах, которое позволяет при замене единицы числителя каждого слагаемого на всю сумму (4а)получить 3-х,4-х и, вообще, n-членную форму записи n- мерного эллипсоида.Эта процедура

-205-

позволяет предложить поэтапную модель компак-тивизации 11-тимерного ячеистого пространства Калаби-Яу.(См. выпуск IV ).При этом становится весьма важной «эллиптичность» всей системы уравнений-уравнений в обратных квадратах и балансных уравнений(см. стр. 55).

Добавим, что в уравнениях с обратными квадра-тами возможна параметризация, при которой при-сутствуют отрицательные слагаемые. Их наличие прводит к вершинам многоугольников Бахмана на гиперболоидах, в гиперболических пространствах, в пространствах Римана и Лобачевского.

ПРИМЕЧАНИЕ II

8.14.

Здесь мы кратко коснёмся темы обобщения разработанной теории ДМЯ на популяционно-генетический уровень. В уравнениях (4-12, стр.46-48) мы заменяем а и b на и с соот-ветствующими теми же самыми индексами, обозначающие число аллелей в популяции на s-й стадии развития. Ранее (1, 4, Л-3) было по-казано, что при введении метрик для описания отклонения от равновесия Харди-Кастла в виде (для ABO и MN систем соответственно):

(93)

-206-

(94)

и

(95)

(96)

при использовании частот эритроцитарных антигенов групп крови Человека для тысяч популяций (1, 4, Л-3),мы обнаружили, что соответствующие распределения частот имеют вид распределения Коши. Этим фактом была подведена база под использование всей нашей идеологии ДМЯ в популяционной генетике. Отметим, что только малая часть рассмотренных популяций(из 2030 -для ABO и 706 для MN ),- порядка 4-5% -подчиняются равновесным условиям. Большинство находится в областях тяжелых хвостов распределений Коши.

ВМЕСТО ЗАКЛЮЧЕНИЯ :

Я. П. Полонский

Из вечности музыка Каждый луч их дрожит,

Вдруг раздалась, И жизнь, пробуждённая

И в бесконечность Этою дрожью,

Она полилась, Лишь только тому

И хаос она И не кажется ложью,

На пути захватила - Кто слышит порой

И в бездне, как вихрь, Эту музыку Божью,

Закружились светила: Кто разумом светел,

Певучей струной В ком сердце горит.

(1819 - 1898)

-207-

ЛИТЕРАТУРА 4.

1.Гарднер М. Математические головоломки и

развлечения.-М., «Мир»:1971.-511 с.

2.Brooks R.L.,C.A.B.Smith at al. The Dissection of

Rectabgles into Squares, Duke Mathematical

Journal, 7, 1940,-pp.312-340.

3.Кордемский Б.А., Русалев Н.В., Удивительный

квадрат.-М.-Л. Гос. издат. Тех.лит.1952,-160 с.

4.Яглом И.М. Как разрезать квадрат.-М.:

«Наука»,1968, -112 с.

5.Бахман Ф., Шмидт Э., n - угольники.-М.:

«Мир», 1973, -247 с.

6.Курош А.Г. Теория групп.-М.: «Наука», 1967, -

648 с.

7.Скорняков Л.А. Элементы теории структур.-М.:

«Наука»,1970, -148 с.

8.Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры.-М.:

«Наука», 1983, -272 с.

9.Биркгоф Г. Теория решеток.-М.: «Наука»,1984.-

568 с.

10.Чеботарев Н. Основы теории Галуа. части I и

II,ОНТИ, Л.-М.:ч.I-1934, -222 с. ч.II-1937,-160 с.

11.Постников М.М. Теория Галуа.-М.: «Факториал

Пресс»,2003.-304 с.

12.Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть

III. Основные структуры алгебры. -М.:

«Наука»,2001.-272 с.

13.Вейль Г. Теория групп и квантовая механика.-

-208-

М.: «Наука»,1986.-496 с.

14.ван дер Варден Б.Л. Алгебра.-М.: «Наука»,1979.-

624 с.

15.Голод П.И., Климык А.У. Математические

основы теории симметрии.- Ижевск: НИЦ,

2001.- 528 с.

16.Желобенко Д.П. Введение в теорию предс-

тавлений. «Факториал Пресс», 2001.-136 с.

17.Желобенко Д.П., Штерн А. И. Представления

групп Ли.-М.: «Наука»,

1983.-360 с.

18 Кириллов А.А. Элементы теории представле -

ний. -М.: «Наука», 1978.-344 с.

19.Кириллов А.А. Лекции по методу орбит.-

Новосибирск.: ИДМИ,2002.-ХIV+290 с.

20.Грин Брайан. Элегантная Вселенная. Супер-

струны, скрытые размерности и поиски

окончательной теории: -М.: Ед. УРСС,2004.-

288 с.

21.Богопольский О.В. Введение в теорию групп.-

М.-И.:ИКИ, 2002.148 с.,-19 с.

22. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и

матричных неравенств.-М.: «Наука», 1972, -

232 стр..

23. Нейман Дж.Теория самовоспроизводящих-

ся автоматов. М.: Мир. 1971. 382 с.

24. Корн Г. Корн Т. Справочник по матема-

тике.-М.:1968 г. 720 с.