1. Теория устойчивых, безгранично

ДЕЛИМЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Эвристической основой уравнений дифференцировки диофантовой модели [7, Л-1] послужило давно обнару-женное эмпирическое распределение Ципфа-Лотка -Па-рето (-рЦЛП) с характеристическим показателем , кото-рое нашло применение в лингвистике и экономике, в науковедении и таксономии, в популяционной генетике и демографии при соответствии значениях [46, Л-1]. В некоторых работах эта универсальность рЦЛП связыва-ется с общностью описываемых им явлений, в основе которых лежат сложные детерминированные процессы дискретной, алгоритмической природы, сопровождаемые ростом структурной гетерогенности.

По отношению к гаусовым распределениям рЦЛП р(х, ) = А/x¹⁺ c =1 обладает определенной выделенностью, поскольку является асимптотическим

-27-

пределом для закона Коши. который не имеет математического ожидания или среднего, а также не имеет дисперсии. Распределение Коши, как и гаусовые, порождается безгранично делимыми и устойчивыми случайными процессами, но в отличии от гауссовых распределений, является предельным распределением для сумм разрывных, с произвольными по величине скачками случайных процессов [25-28, Л-1]. Выглядит распределение Коши так:

,

асимптотической формой которого является рЦЛП при =1. Таким образом, есть вполне определенные основания для выделенности рЦЛП и его использования в биодинамике [46, Л-1], хотя бы из-за явно кодового характера биодинамики [47-50, Л-1] и ее иерархических структур.

Теоретическое естествознание, встречая проблемы, связанные со сложностью массовых изучаемых явлений, уже не раз удачно их преодолевало, в частности, путем использования соответствующего статического форма-лизма, а если говорить точнее, предельных теорем теории вероятности.

Суть дела такова, что не существует каких-либо статистических понятий и схем без введения понятия вероятности или частоты массового события, а частота, в свою очередь, обретает какой-либо смысл, если существуют схемы суммирования событий и оценка их устойчивости или достоверности. Т.е. суммирование и проблема устойчивости результата суммирования

-28-

требуют предельных теорем иногда для условно «случайных» событий.

Широкие круги «потребителей-прикладников» почти не знакомы со следующей ситуацией:существуют процес-сы, которые приводят к такой значительной неустойчи-вости частоты при попытке её воспроизведения, что сама постановка о воспроизводимости ее величины при повто-рении опыта лишена какого-либо смысла, ибо у частоты отсутствует среднее и дисперсия. Также лишено смысла по этой причине безгранично увеличивать выборку - существующая для ограниченной выборки выборочная дисперсия при увеличении ее объема в лучшем случае не имеет предела. Со слегка похожей ситуацией генетик встречается при подсчете частоты в ходе семейного анализа, когда автоматически, априори, достоверность анализа (математической его части) равна строго 100%. В этом случае, подчеркнем, частота из вероятностной, случайной категории, переходит в строго детерминиро-ванную.

Частоты событий получаются в результате накапли-вания, суммирования однотипных актов, трактуемых как случайные даже в строго детерминированном ва-рианте, и поэтому абсолютно все известные естество-знанию распределения частот или долей появляются в ходе суммирования случайных величин, которыми, например, в случае частот служат нули и единицы, появ-ляющимися в произвольном порядке.

Наиболее содержательные, законченные результаты, мимо которых в абсолютном большинстве прошли все ведущие генетики-теоретики вплоть до наших дней (для суммируемых величин в теории предельных теорем

-29-

основные результаты были получены в 20-40-х годах это-го века благодаря трудам П. Леви, А.Н. Колмогорова, А. Я. Хинчина и Б. В. Гнеденко [25-27, Л-1] . Весьма важные результаты были получены также В. М. Золотаревым в более позднее время ).

Труды этих исследователей существенно обобщили за-кон больших чисел, или точнее , центральную предель-ную теорему теории вероятностей.

В определенном условном смысле произошло заверше-ние фундаментального раздела математики благодаря введению понятия безгранично делимых случайных и устойчивых распределений при их композиции или свер-тке.

Если случайная величина может быть для любого n представлена в виде суммы

, (1)

то безгранично делима. Поскольку , то матрица -треугольная, а схема суммирования (1) называ-ется треугольной схемой, в которой в частных случаях - взаимно независимые и одинаково распределенные величины.

Далее. Если символом «*» обозначить операцию свертки (2)

или (3)

то распределение F называется устойчивым, если для любых a_1,2>0 и b_1,2 найдутся такие а>0 и b , что

F(a₁x +b₁) *F(a₂x +b₂) = F(ax + b) (4)

-30-

Отметим, что в (3) интеграл понимается в смысле Стильтьеса, а Р_1,2 являются ступенчатыми функциями.

Таким образом, аддитивность (1) случайных величин влечет мультипликативность распределений:

(5)

В свою очередь (5) индуцирует аддитивность логариф-ма характеристической функции распределений:

(6)

(7)

(8)

Последнее свойство (8) фактически позволило Финнети, Леви и Колморову предложить аддитивные интеграль-ные канонические представления для логарифма харак-теристической функции безгранично делимого и устой-чивого распределения.

В силу того, что, соответственно, для распределения Гаусса и Пуассона логарифмы характеристических фун-кции представляются в виде

и (9)

, где (10)

и - параметры этих законов, - величина типово-го скачка, наиболее общим видом для бесконечно дели-мых и устойчивых распределений будет представление П. Леви (формула Леви):

-31-

, (11)

где распределения скачков M и N ступенчатых или спек-тральных функций задаются в виде (u - величина скач-ка):

	М (u)	N (u)
0< <2	c1 /	-c2 / u	0	c1 0; c2 0; c1 + c1 > 0
=2	0	0	0

(12) Важно пояснить, что в (11) слагаемое

(13)

введено по следующим причинам. Числитель itu необ-ходим для компенсации расходимости интеграла из-за возможных малых скачков с большой частотой, когда их полная плотность может обратиться в бесконечность. Знаменатель 1+u² компенсирует расходимость ln f(t) при равном бесконечности. Представление Леви позво-ляет явно вычислить все интегралы. Хотя это еще не означает выражаемость, например, через спецфункции самой плотности распределения. Ее явный и элемен-тарный вид известен лишь для трех случаев: закона Гаусса, Коши и Леви-Смирнова.

После вычислений по формуле (11) получается следую-щее 4-х параметрическое выражение для логарифма ха-рактеристической функции плотности распределения устойчивых, безгранично-делимых распределений:

-32-

, . (14)

где

(15)

Причем,

(16)

- закон Коши. (В физике - это кривая Лоренца). Для него Р(х)=-1/2 + arctg (x / ) , , .

В формулах (11-16) параметры связаны так:

(17)

, где (18)

(19)

(20)

Теперь еще раз напомним, что ф-ла Леви учитывает как непрерывные, так и скачкообразные компоненты случайной величины с произвольной величиной скач-ков, ибо, например, закон Гаусса порождается только непрерывными процессами, а закон Пуассона скачко-

-33-

образным, у которого скачки кратны только одной вели-чине u₀ 0. Итак, константы с_1,2 и показатель фиксиру-ют вид двух распределений величин скачков

в (11) случайной величины . Для закона Коши

=1 и с₁=с₂=С

Добавим, что в самих плотностях распределений, кото-рые являются непрерывными функциями, исходная скачкообразность и наличие тех или иных компонент в случайных величинах - дискретных, скачкообразных, сингулярных или непрерывных- исчезает, а сами «меха-низмы», их нивелирующая роль в «слиянии» в единую аналитическую форму, составляют предмет основ тео-рии, причем в познавательном и прикладном смысле раскрытие этих «механизмов» зачастую приносятся в жертву «математической доказательности» и эконом-ности изложения, оставаясь скрытыми, «за кадром» наг-лядного обозрения. Поясним вышеупомянутое разложе-ние произвольного распределения на компоненты.

Пусть а₁+а₂+а₃=1, тогда существует единственное представление для любой функции распределения F(x)и такое, что F(x)= а₁F₁(x) + а₂F₂(x) + а₃F₃(x), а F₁(x), F₂(x), F₃(x) - функции распределения также.

Здесь F₁ (х)-абсолютно непрерывное распределение и f(x)=F^/(x) почти всюду, а F₃ (x) - чисто скачкообразная компонента, тогда как F₂ - распределение, без скачков и почти всюду F₂^/ (x)=0. F₂ сосредоточено на несчетных множествах, оно непрерывно, но не абсолютно. Его точки роста образуют меру нуль по Лебегу.

-34-

Отметим еще одно важно свойство устойчивых рас-пределений. Т.к. они порождаются аддитивностью слу-чайных величин, то суммам этих величин отвечают простые распределения, в которых также обладают ад-дитивностью их параметры. Например, параметры рас-пределения Гаусса - средние и дисперсии: если у двух законов q₁(x-a; ) и q₂(у-b; ) средние и дисперсии соответственно равны а, b и , , то у суммы Х+Y=Z будет распределение q₃[z-(а+b);( + )] со средним а+b и дисперсией + . Аналогично и у закона Коша пара-метры и являются аддитивными. Т.е. если

; , то

, где s = a + b, S = A + B.

При несколько иной параметризации этого закона

,

складываются обратные значения параметра , т.е.

1/ ₀ =1/ ₁ +1/ ₂

Оба закона - Гаусса и Коши - обладают в силу этого удоб-ной при построении вероятностных бумаг масштабной инвариантностью по обеим осям, что наглядно демон-стрируется представлением

Оба распределения колоколообразны и имеют в соот-ветствующей отнормированной форме две общие точ-

-35-

ки пересечения - в нуле и при х/ 1,987, / 0,7979; оба при 0 и 0 превращается в дираковскую дельта-функцию. Наконец, отметим :

.

Наконец, самое важное следствие скачкообразности процессов, порождающих распределение Коши, это от-сутствие второго момента - он расходится, у распреде-ления Коши дисперсия бесконечна [25, Л-1].

По нашему мнению [12, Л-1] дисперсия есть мера мик-рогетерогенности значений исходной случайной вели-чины, ибо закон Гаусса и все распределения с конечной дисперсией имеют быстро спадающий хвост, для закона Гаусса f(x) ~ , x → ∞, тогда как для Коши - обратно пропорционально квадрату, т.е. х^--2 при x → ∞, Это свой-ство и отсутствие дисперсии вынуждает нас принять, что закон Коши или в асимптотике 1/x² - распределение по обратному квадрату - отражает макрогетерогенность значений рассматриваемой «случайной» величины.

-36-

Именно в применении к биологическим объектам весьма неестественно говорить о стремлении к беско-нечности объема выборки, и невозможно при этом сохранить требуемую однородность и репрезентатив-ность, аналогичную исходной малой выборке. Таких выборок в природе нет и даже в абстракции их сущест-вование гораздо менее правдоподобно, чем, скажем в физике или астрономии. А без обращения к предельным значениям и к возможности их повторного воспроизвод-ства невозможно говорить о самом понятии «частота» или «вероятность». По-видимому, именно подобные обстоятельства побудили А.Н. Колмогорова ввести алгоритмическое определение вероятности, а затем и сложности алгоритма [29-30, Л-1] , тесно связанные с частотным подходом в основах теории вероятности и теории информации.

В заключение этого раздела приведем некоторые све-дения об уже упоминавшемся распределении ЦЛП. Сама плотность и распределение при х< и

при

х . Причем, если >1, то =Мх=( ) . Это распределение не относится к классу устойчивых. Далее, упоминая распределение Коши, мы будем использовать безразмерную и неотнормированную плотность (21)

Забегая вперед и анализируя необычайную эффектив-ность модели [7, Л-1], можно сейчас в дискуссионном по-рядке предположить, что требование

-37-

диофантовости решений основного уравнения в обрат-ных квадратах компенсирует отсутствие устойчивости у фактически использованного распределения Парето (по [7, Л-1] -рЦЛП ). Действительно, рЦЛП имеет особенно-сти в нуле, которой нет ни у закона Гаусса, ни у закона Коши. Особенность появляется при х=0 у устойчивых распределений лишь при →0 [26, Л-1]. Но требование диофантовости [7, Л-1]. исключает особенность в нуле, поскольку в этом случае х не может стремиться к нулю.

Исходя из этого дискуссионного сопоставления мы надеемся, что в ближайшем будущем удастся обобщить операцию свертки в применении к «проквантованному распределению» Парето и к многочисленным корням уравнения (6) при s>>1. Обобщить так, что с помощью специфического отбора решений можно будет ввести аналог устойчивости и для такого «Парето», но на диофантовом подмножесве множества корней уравнения (6), см. ниже.

Подобный результат весьма заметно усилил бы обос-нованность модели, поскольку апелляция к асимптоти-ческому варианту закономерности Коши плохо работает именно в начале этапа развития, который, тем не менее, нашел аргументированное подтверждение.