1. Если -циклическая проекция, то образ

-189-

Im -циклический класс, центральный, если

s( ) 0, (34)

Если - проекция, то = , - идемпотентное ото-бражение множества в себя. Если и коммутируют, то Im =Im (54стр.[5, Л-4]) Im ={ a: а М}. Ото-бражение, оставляющее элементы неподвижными F_Iх ^/ = {а: а=а}, есть максимальное подмножество М, на котором тождественно F_iх Im . Также ядро Ker = {а: а=0} Эти операции Im и Ker , допол-няющие друг друга подгруппы группы А, т.е.

А=Im Ker (35)

если - идемпотентный эндоморфизм абелевой группы А=(А_,+), Итак.

Im -вложения (стр.100), [5, Л-4]

Под ними понимаем изо- или анти-изо- морфизм структуры L, на подструктуру структуры L₂ (отметим, что при антиизоморфизме могут поменяться местами структурные операции, определения max^/a, min^/a). При употреблении процедуры вложения речь идет о помещении каких-то «малых» структур дистрибутивного характера, например, булевых алгебр в «большие» (например, дедекиндовые), которые не обязательно дистрибутивны. (101 стр.)[5, Л-4])

Теорема 10. (О Im-вложении).

Пусть (Е,о,·,).- булева алгебра эндоморфизмов абелевой группы А, тогда отображение _→Im является изоморфизмом (Е,о,·,) на подструктуру структуры подгрупп (L(A),+, ), эта подгруппа тоже булева алгебра

-190-

L_Е(A). Здесь элементами Е являются попарно коммутирующие идемпотентные эндоморфизмы произвольной булевой алгебры А.

Напомним, что после применения теоремы 9 ( 149 стр. [5, Л-4]) к алгебре К[ ] циклических отображений мы получаем булеву алгебру циклических проекций (Е (К[ ]),о,·,), образами которых будут свободные и центральные классы, являющиеся булевыми алгебра-ми, подструктурой в структуре подпространств вектор-ного пространства n-угольников.

Наиболее интересен вариант применения этой теоремы в случае 0,1 Е. Тогда {0} и А принадлежит L_Е(A) сущ. 1- , , где 1- -дополнитель-ные элементы. Взаимно дополнительные элементы из Е переходят при Im-вложении во взаимно дополнитель-ные подгруппы в А, а отображение Ker -в антиизоморфизм Е на L_Е(A). Итак.