1). А b mod (m)т. И т.Т., когда а b mod (pi) pi .

2) Элемент е т. и т. тогда идемпотентен mod(m) когда для каждого p_i он сравним mod(p_i) либо с 0, либо с 1. Т.е. для всякого p_i в R существует элемент e_i , такой что е_i mod(p_i), e_i 0mod(m/ p_i), откуда

e_i 0mod [( p_i)] при j i . Т.е

1 e₁+e₂+...+e_kmod(m) и

e_i e_j 0mod(m), j i (21)

(-т.к. p_i и m/p_i - взаимно просты ). Также

-185-

3) 2^k частичных сумм выражения e₁+e₂+...+e_k идемпо-тентны и попарно не сравнимы mod(m), если они раз-личны. Любой из 2^k идемпотентный mod(m) сравним с одной из этих частичных сумм (на подмножестве I из {1,2,...,k}).

11. Определения, теоремы о булевых

системах, алгебрах, кольцах и т.п..

Под обозначением (Е(R), ,·,)понимается булево кольцо с единицей, т.е. кольцом с единицей, в котором каждый элемент идемпотентен. I(R)- подгруппа группы обратимых элементов, множество инволютивных элементов R (стр. 96 [5, Л-4]). Далее.(R,+, ,)-коммутативные кольцо с элементами 0, а, b,... Если аа = а, то а - идемпотент. E(R) - множество идемпотентных элементов. (94 стр. [5, Л-4]) Для а,b R операция «о» - присоединенное (или круговая коммутация, булево сложение) произведение, такое, что аоb = a+а - а·b, где a и b ортогональны, если их обычное произведедение а·b=0. Тогда аоb =а+b.

Если а,b Е(R), то аb=a.Отметим, что (Е(R), , ,)-дистрибутивная структура. Из операций «, , ,» в мно-жестве Е(R) можно построить отношение « » (частич-ное упорядочение): а b, если аb=а или, что эквивален-тно а b = b .Тогда 0 - наименьший элемент Е(R).

Если кольцо R cодержит единицу, то она является наи-больщим элементом в Е(R).Отображение а 1-а кольца R в R взаимно однозначно и инволютивно. Если а Е(R),то 1-а Е(R) и 1=а (1 - а); а(1 - а)=0 Т.е. а и 1-а

-186-

взаимнодополняющие (дополнительные) элементы структуры Е(R).

Итак, (Е(R), ,·,) дистрибутивная структура с допол-нениями, т.е. булева алгебра. Отметим, что отображе-ние«1-»заменяет друг на друга операции«о и »:

1 - ( аоb) = (1-а)(1-b) и 1 - ab = (1-a) о(1 - b). (22)

1-a=a^/ - определение операции дополнения «^/» - унарной операции. Итак, суммируя, имеем теорему: (95 стр. [5, Л-4])

Теорема 8

Идемпотентные элементы коммутативного кольца с единицей образуют булеву алгебру по отношению к операциям «о» и « »:

Пример.

Пусть К₁, К₂, ... К_k - поля, тогда

R=∑ Ki , (23)

т.е. R- множество k- наборов

(а₁ , а₂ ,...., а_k ), (24)

где а_i K_i в котором (в R) сложение и умножение определяется покомпонентно («позиционно»). Здесь Е(R) состоит из 2^k элементов вида (24) , где все а₁ {0,1}. Элементы

(1, 0, ...., 0), (0, 1, 0, ...,0), ..., (0,0,,...,0,1) (25)

(их число равно k) атомарны в E(R). Произведение двух различных элементов из (25) равно нулевому элементу (из одних нулей)(0,0,...,0).(Т.е. они «взаимно ортогона-льны ». Булева сумма всех элементов (25) является обычной суммой и равна единичному элементу (1, 1, ..., 1, 1) кольца R.

Этот пример помогает уяснить следующую теорему :

-187-

Теорема 9

Пусть в коммутативном кольце R с единицей элементы e₁+e₂+...+e_k отличны от 0 и таковы, что

1=e₁+e₂+...+e_k

e_i e_j = 0 , j i (26)

тогда все «частичные суммы» выражения e₁+e₂+...+e_k образуют булеву алгебру по отношению к операциям «о» и « » , содержащую 2^k элементов, причем, элементы e_i в ней атомарны. Под «частичными суммами» выражения

e₁+e₂+...+e_k (27)

понимается само это выражение и все те, которые получаются из него при отбрасывании любого числа слагаемых. Так из их частичных сумм можно построить 2^k , включая пустую, нулевую сумму.

Замечания.

1) Частичные суммы (27) образуют булеву подалгебру (Е(R),о,·,).Эта подалгебра имеет 2^k элементов.

2) Сами частичные суммы с числом слагаемых больше одного - не атомарны.

3) Подалгебра с числом l элементов e_i 0 , содержит 2^l элементов

4) равенства (28) и (29) эквивалентны :

1=e₁ о e₂ о... о e_k (28)

и

e_i (e₁оe₂о... оe_i-1 о e_i+1 о... о e_k ) = 0 (29)

5) Утверждение 3) эквивалентно следующим:

-188-

любой из элементов e₁ , e₂,...,e_k дополнителен к булевой сумме остальных, и их «прямая» сумма, булева сумма, равна 1.

Теперь нам потребуется минимальные булевы много-члены Мj , j от e₁,...,e_k, ,к числу которых относятся произведения

e₁e₂...e_k (30).

и все те, которые получаются в них заменой e_i на e_i^/=1- e₁ (на дополнительные). Т.е.

1=М₁+М₂+...+М_k (31)

и

М_iM_j=0 при j i (32)

частичные суммы

М₁ +М₂ +...+М_k (33)

образуют также булеву подалгебру алгебры (Е(R),о,·,).

Важно, что отличные от нуля минимальные многочлены атомарны в этой подалгебре. Если их количество (минимальных. многочленов.) равно l , то

подалгебра содержит 2^l элементов, l 2^k. Если l = 2^k ,то эта подалгебра называется свободной подалгеброй.

Наконец, изложим сведения «предзаключительного» характера о булевых алгебрах, циклических проекциях и их трансформации в дедекиндовые структуры . Мы применим теорему 9 (стр.149 [5, Л-4]) к алгебре К[ ] циклических отображений, что приведет к булевой алгебре циклических проекций (Е(К[ ]),о,·,). С помощью Im- вложения (см. ниже) эту булеву алгебру отобразим в структуру подпространств векторного пространства n-угольников An.

Предварительные пояснения.