8. Основная теорема - 1

теории n-угольников (- 1).

Циклические классы n-угольников образуют конечную булеву алгебру.

Эта булева алгебра является подструктурой структуры подпространств векторного пространства An. Если k- число простых делителей многочлена Xⁿ-1 в кольце К[x], то число циклических классов n-угольников равно2^k.

Добавим, что если

хⁿ-1 = (12)

то

(13)

число возможных простых делителей многочлена

хⁿ-1 (14)

Обратим внимание на то, что векторные подпрост-ранства и булевы структуры относятся к разными ти-пам решеток (структур). Первые - дедекиндовые решет-ки, а вторые - дистрибутивные . Причем, первые струк-туры богаче и поэтому употребимее по сравнению со второй [5,9, Л-4].

-177-

В связи с этим важно, что два типа вложений Im - и идеал - вложения обладают необычным и ценным свой-ством: формально суживая область действия, они трансформируют ценность и качество аппарата, меняя менее ценный тип структуры на более качественный.

При этом появляется возможность говорить на мощ-ном языке формализма композиционных атомарных ря-дов, языке теории Галуа, теории представлений широ-кого класса групп, теории алгебр.

Основное назначение теоремы-1 это сузить комбина-торные классификационные трудности при анализе всех подпространств векторного пространства всех многоу-гольников An.

Использованное выше понятие циклического класса выделяет в структуре подпространств вполне реально описываемую конечную булеву решетку ( структуру).

Основной акцент в теореме сделан на структуре самой булевой алгебры L_2,, которая представляет собой интер-вал

[(xⁿ-1),K[x]] (15)

цепи упорядоченного множества (у-множества [9, Л-4 ]) , или структуру идеалов (xⁿ-1) кольца K[x]. Через понятие цепи вводится еще более важное для нас в последующем понятие композиционного ряда.

Как известно [9-14, Л-4] (см. ниже) композиционный ряд сам представляет собой структуру, а точнее, ато-марную структуру, число различных атомарных клас-сов компонент которой равно именно 2^k. В рассматри-ваемых нами случаях , поэтому атомарные циклические классы- центральные.

-178-

Итак, понятие композиционного ряда Галуа в совре-менном изложении берет начало с определения понятия цепи. Цепь а₀ а₁ ... а_n, принадлежащая частично упо-рядоченному множеству с нулем 0 и единицей 1, назы-вается композиционным рядом, если а₀ =0, а_n =1, и все (элементарные) интервалы [а_i-1,а_i], i= - простые, т.е. содержат только по два разных элемента.

Следующие две теоремы формулируют условия, при которых структура должна обладать композиционным рядом [7,Л-4(стр.114. теор.18)] и некоторые следствия.

Теорема 2.

Если а=р₁+...+р_n, где р_i , i= -

атомы дедекиндовой структуры, то структура [0,a] обладает композиционным рядом.

Теорема 3.

Если дедекиндова структура L имеет композиционный ряд, то три следующих свойства эквивалентны: (1) L - структура с дополнениями; (2) : каждый элемент из L представляется как прямая сумма атомов ; (3): 1-ца представляется как сумма атомов.

Используя понятия дистрибутивной структуры (решетки), вводим понятие булевой алгебры: - это дистрибутивная структура с относительными дополнениями. Каждый элемент а имеет в точности одно дополнение а^/, где штрих «^/» означает унарную операцию взятия дополнения.

Структура с дополнениями - это структура с 0 и 1-цей , и если для каждого а L найдется b L , такое что

а+b=1 ; ab=0 (16)

то b a^/ (обозначение). Вообще, b не единственно. Если

-179-

xy=0, то вместо x+y пишут Х Y;Х,Y L и Х Y=1, если y x^/ .

Фундаментальность понятию алгебры Буля придает теорема Стоуна:

Теорема 4. Конечная булева алгебра изоморфна струк-туре всех подмножеств некоторого конечного множест-ва. Аналогично этой теореме звучит и теорема о деде-киндовых структурах:

Теорема 5. Дедекиндова структура изоморфна струк-туре подпространств линейного векторного пространст-ва (стр. 97, [7, Л-4] Отметим, что две структуры - дист-рибутивная и дедекиндова имеют общего «прародителя» - цепь; причем, всякая цепь - дистрибутивна [7, Л-4]. Также важно, что понятие цепи в частично упорядочен-ном множестве вводится по логической последователь-ности ранее понятия композиционного ряда. Наконец, важна теорема Виландта [7, Л-4], стр. 218.

Теорема 6. «Композиционные» подгруппы любой ко-нечной группы (т.е. подгруппы, входящие в компози-ционный ряд) образует подрешетку решетки (структу-ры) всех подгрупп.

Здесь уместно расширить область применения аппа-рата: вместо упомянутых в композиционных рядах под-групп, могут использоваться не только группы, но и кольца, модули, универсальные алгебры и т.п. системы при допустимых (правильных) разбиениях, которые ис-черпываются разбиениями по

1) нормальной подгруппе ,

2) идеалу,

3) подмодулю

4) и, к примеру, конгруэнции.

-180-

В последнем случае мы получаем в качестве элемента композиционного ряда факторалгебру алгебры по кон-груэнции.

Отметим, что во всех подобных случаях, получая фак-тормножество какой-либо системы по правильно-му разбиению этого множества, мы реализуем все гомо-морфные образы системы .

Здесь под правильным, допустимым разбиением пони-мается представление множества в виде непересекаю-щихся классов А,B,C,... и таких, что если а_1,2 А; b_1,2 B (а₁b₁),(а₂b₂) C ,т.е. результат перемножения элементов из разных классов не остается ни в одном из исходных классов и образует третий класс.

Наконец, когда Г. Киндер [5, Л-4] установил связь (на языке векторных подпространств) между циклическими классами n-угольников и многочленами, при этом понадобилось следующее утверждение [8, Л-4],181 стр.:

Теорема 7.

Факторкольцо многочленов К[ ] над полем К по идеалу (хⁿ-1), порожденному неприводимым многочле-ном над полем К.- поле. Здесь скобки [ ] означают кольцо, а скобки ( ) - идеал..

9. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА -1

теории n-угольников

-выводы (- 2).

1. Сумма и пересечение 2-х циклических классов n-угольников снова являются циклическими классами.

2. Аn - является прямой суммой атомарных цикличес-ких классов, атомарных элементов булевой алгебры циклических классов.

-181-

3. (Самый важный!) Любой n-угольник однозначно представим в виде суммы n-угольников из атомарных циклических классов.

4. Смысл атомарных циклических классов, как и число этих классов зависит от поля К или , проще говоря, n-угольники атомаррных классов обладают определенны-ми свойствами регулярности.

10. Схемы определения атомарных

циклических классов, атомарных ком-понент векторного пространства n-угольников и сопутствующие вопросы.

1. Следуя «китайской конструкции» для любого делителя (112 стр.[5, Л-4]) р_i(х) двучлена хⁿ-1 найдены многочлены е_i(x) K[x], удовлетворяющие условиям:

е_i(x) 1 mod (p_i(x))

е_i(x) 0 mod ( ) (17)

После замены х получаем нерав-ные нулю полярно взаимно ортогональные циклические проекции, сумма которых равна единице. Причем, е_i являются атомарными циклическими проекциями в Е(К[ ]) (теор. 2 гл. 5, [5, Л-4]), а Im -атомарные циклические классы n-угольников. Тогда разложение А на атомарные компоненты принимает вид:

-182-

A= e₁( )A+e₂( )A+...+e_K( )A (18)

И каждый из 2^к циклических классов получается по этой схеме перебором всех возможностей при смене k.

Изложим кратко определения основных понятий и за-ложенные идеи. Временно вся «алгебра» будет изложена в других обозначениях К[x] R и хⁿ-1 m. m счита-ется свободным от квадратов (также как и хⁿ-1) т.е.

m=p₁p₂...p_k,(k 1), (19)

или m равно произведению попарно ассоциированных простых элементов.

Здесь К[x] - кольцо многочленов над полем К, R- комму-тативное кольцо с 1_R , причем, единицы ( или обрати-мые элементы) кольца R образуют по умножению груп-пу U, элементы а ,b R ассоциированы друг с другом (а~b образуют класс Uа, по эквиваленности «~» ), если существует u U и a=ub .Причем, класс ассоциирован-ных элементов содержит не более одного идемпотентно-го элемента.Элемент e R - идемпотентен по модулю(m) , е² е mod(m) или е(1-е) 0mod(m), обычно обозначает е^/=1-e «^/» ннволютивное преобразование.

Везде круглые скобки означают идеал m (m). Теперь процитируем подготовительные теоремы, предшествую-щие основной теореме стр. 116 [5, Л-1]. Алгебра К[ ]состоит из классов ассоциированных элементов, а циклические проекции образуют полную систему представителей этих классов. Поскольку циклические классы n-угольников это ядра циклических отображений, два циклических отображения имеют равные ядра т.и т. тогда когда они ассоциированы; соответствующих клас-

-183-

сов существуют равно 2^k экземпляров. Откуда следует, что существует точно 2^k циклических классов n-уголь-ников. Заметим, что при заданном n k удовлетворяет неравенству (*) и при K=Q - полю ра-циональных чисел, k= . Это неравенство (*) следствие двух разбиений двучлена xⁿ-1 на множители:

, (20)

где F_d(x) многочлены деление круга , которые при К=Q неприводимы и xⁿ-1 разлагается только на простые множители p_i(x). Наконец,

2.Циклические проекции являются образами идемпо-тентных mod(xⁿ-1) элементов из К[x] при гомоморфизме К[x] К[ ] .

3. Существует ровно 2^k циклических проекций. Всякое циклическое отображение ассоциировано с некоторой циклической проекцией, т.е. для всякого циклического отображения существует циклическая проекция и обратимое циклическое отображение , такие , что , где - однозначная функция . Эти утверждения - следствия следующих двух:

4. Пусть R- кольцо главных идеалов и m- свободен от квадратов. Тогда в R существует ровно 2^k идемпотен-тных по модулю (m) элементов, попарно сравнимых mod (m). между собой и таких, что каждый идемпотентный mod(m) сравним mod(m) ровно с одним из этих 2^k эле-ментов.

5. Любой элемент из (такого) R ассоциируется по модулю (m) с определенным идемпотентным по модулю

-184-

(m) элементом. Отметим, что везде в обозначениях mod(m) понимается mod((m)), и читая текст, везде следует вставлять «по» перед mod ((m)) .

После обещанного возврата к собственно n- уголь-никам имеем : К[x] - кольцо многочленов K . Оно яв-ляется кольцом главных идеалов и одновременно ал-геброй над полем К. При замене Х в произвольном многочлене f(x) получаем циклическое отображение f( ) - элемент алгебры К[ ] циклических отображе-ний. Подстановка Х задает гомоморфизм К[х] на К[ ], ядром которого служит идеал, порожденный многочленом xⁿ-1 .

Далее. Кольцом главных идеалов называется (110 стр.

[5, Л-4]) область целостности с 1, в котором всякий иде-ал является главным. В кольце главных идеалов всякий 0 элемент, не являющийся единицей кольца, предста-вим в виде произведения простых элементов - и это пре-дставление единственно с точностью до порядка сомно-жителей и замены их ассоциированными. Наконец, если R - кольцо главных идеалов и m R, то считаем, что а сравним с b по модулю m или а bmod((m)), если

а-b (m). Тогда .