6. Элементарная терия n-угольника

Уравнение любого исходного n-угольника в векторном n-мерном пространстве _An = Vⁿ , в пространстве n-угольников.

(1)

порождает циклическую систему уравнений (см. ниже (10) и пример для n=3 при последовательном цикличес-ком сдвиге индексов на один шаг с помощью оператора

, (2)

-173-

степени

1, , ², ³ ,..., ^{n - 1} (3)

эндоморфизмы которого, образуют циклическую группу порядка

n: ⁿ=1 (4)

Тогда произвольное

(5)

циклическое С-отображение ( ) преобразует многоугольник в - угольник:

b= (6)

Само принадлежит алгебре эндоморфизмов End (An), где

An Vⁿ =V V ..... V, (7)

(V повторено n раз) - векторное пространство n - угольников над коммутативным полем К :

(С_0,,...,С_{n - 1} ) К: (8)

Множество решений циклической системы уравнений называют циклическим классом n - угольников.

Из теории систем однородных линейных уравнений известно, что циклический класс является подпростран-ством An, а строение подпространств, в свою очередь, представляет собой дедекиндову (модулярную) струк-туру (решетку) [9, Л-4] с возможными композицион-ными рядами (рядами Галуа). В [5, Л-4] доказана теорема 1 (на стр. 49): Циклический класс является ядром (b 0)

-174-

циклического отображения с тем же набором С-коэффициентов. Приведем пример действия -отображения для случая n=3.

Отметим, что сложение n-угольниеков происходит по-компонентно («позиционно»):

(9)

Тогда уже упоминавшаяся циклическая (но неоднород-ная) система уравнений будет выглядеть так

-- -- -- -- -- -- -- -- -- - - -- (10)

Из уравнений (5,6) при n=3 имеем:

=

(11)

Этот пример понадобился для наглядной иллюстрации

-175-

того, что произвольное циклическое -отображение не только циклически заменяет у n-угольника индексы, или «вращает» его, но и существенно меняет форму n-угольника.

7. Постановка вопроса

Представленное краткое введение позволяет нам на-чать разворачивать панораму всего формализма в виде выборочного набора теорем существования.

В любых приложениях теории симметрии к количест-венным и качественным данным существенным явля-ются два вопроса - какова величина объекта с задан-ными свойствами и на какие группы, классы, подмно-жества он разбивается. Т.е. центральной задачей являет-ся определение величины классифицируемого объема и сама классификация.

В нашем случае все внимание будет уделено первому вопросу, а ответ на 2-ой - будет получен.....попутно, поскольку природа и ее «математика» так устроены !

Итак, сколько существует циклических классов, число которых (и как?) определяет длину композиционного ряда, степени и порядки групп и полей Галуа, которые в свою очередь, порождают преставление группы подстановок, определяют ряды Клебша-Гордана или ряды в теории мультиплетов ядерной и атомно-молекулярной физики и биохимии?.

Ответ на этой вопрос дает основная теорема [5, Л-4], доказанная там двумя вариантами формализма.

-176-

1-ое доказательство использует понятия идемпотентов и идемпотент -вложения, конструкцию китайской теоремы об остатках .

2-ое доказательство обходиться без этой вспомогательной техники и основывается на понятиях R-модуля и идеал-вложения.

Итак.