4. Замена геометрического квадри-

РОВАНИЯ НА АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ, СНЯТИЕ

ВЫРОЖДЕНИЯ И ДТА

Нам нужно, чтобы разбиваемый прямо-угольник был непре-менно квадратом, но нам не нужно, чтобы все квадраты были разные. Разбивать нам можно вполне определенные квад-раты, а не такие, ка-кие получаются в

Рис. 23.

процессе решения. На Рис. 23 представлено разбиение для квадрата b_s при s=7.

b₇ = 16=4+4+4+1+1+1+1

Более того, нам необязательно, чтобы составля-ющие части были обязательно квад-ратами. На рис. 24 . дано разбиение для квадрата b_s при s=6.

b₆=36=9+9+9+4+4+1

Рис. 24.

-166-

2₁² + 2₂² + 2₃² + 1₁² + 1₂² + 1₃² + 1₄² =16 = 4² или в дву-

членном виде имеем: 3/2² + 4/4² = 1 точку на двумерном эллипсе и семимерной сфере. В последующем мы посто-янно будем возвращаться к этому факту, поскольку он приводит к крайне важной модели компактификации, к сворачиванию размерностей. Длина ребра квадрата про-порциональна силе тока в соответствующей эндомор-фичной схеме Смита. АВ: содержит 2 полных квадрата 2х(3х3) с токами j3₁ =3; j3₂ =3; ВD содержит квадрат 1х(3х3) с током j3₃ =3; ВС содержит квадрат 1х(1х1) и по-луквадрат 1(1х2) с токами j1₁ =1 и j2₁₁ =1.СD содержит квадрат 1х(2х2) и полуквадрат 1(2х1) с токами j1₁ =2 и j2₁₂ =1.

Все сопротивления нормированы друг к другу так, чтобы по проводникам текли нужные токи. Предла-гаемое представление решений b_s геометрическими квадратами разбитыми на алгебраические квадраты, большая часть которых являются и геометричес-кими квадратами,ранее не находило серьезного применения

«Этот последний ряд при замене геометрического квадрирования на алгебраическое (без сохранения фор-мы некоторых квадратов, допускаются прямоугольни-ки) сыграл ключевую роль в процессе наших редукций решений уравнений в обратных квадратах к многоуго-льникам Бахмана [5, Л-4], непосредственно связанными с неприводимыми многочленами Галуа, с расширени-ями полей Галуа и композиционными рядами Галуа.»

* * *

-167-

5. Схемы киргофа, смита, бахмана и дмя.

Р ИС.25(а)-верх,б)справа)

3 Сорта квадратов

s=10; n=12.

Алгебраическое и геомет-рическое разбиения квад-рата на s квадратов.

Пример № 1.

b₁₀ =36; 1/2²+6/3²+ 3/6² =1

6²=3²+ 2₁² + 2₂² + 2₃² + 2₄² + 2₅² + 2₆² + 1₁² +1₂² + 1₃²

и отвечающие им n-угольник (-схема Смита и n-угольник Бахмана)

2 -ва пунктирных ребра - аналог одного ребра.

b₁₀ j₀² j_i = j_i/j_o

Согласно первому и второму правилу Киркгофа (векторная сумма токов в (A-F )-узлах =0, и алгебраическая сумма по всем неидентичным замкнутым контурам-обхода электрические цепи потенциала в точке =0 ) имеем:

-168-

1. 1=J_{1 (11)} + J_{2 (12)} + J₃ 2. J_{1 (11)} + J_{2 (12)} = J_{4 (11)} + J₈ +

3. J₃ + J_{4 (11)} = J₆ + J_{5 (12)} 4. J_{5 (12)} = J_{7 (13)}

5. J₆ + J_{7 (13)} + J₈ = J₉ + J₁₀ + J₁₁ 6. J₃ - J_{4 (11)} = 1/2 *J_{2 (12)}

7. J_{4 (11)} + J₆ = J₈ 8. J_{5 (12)} + J_{7 (13)} = J₆

9-10. J₉=J₁₀ = J₁₁ 11. J_{2 (12)} = J_{1 (11)}

Решение системы уравнений (1-11) в единицах тока J₀ имеет вид :

J_{1 (11)} = J_{2 (11)} = J₃ =1/3 ; J_{4 (11)} = J_{5 (12)} = J_{7 (13)} =1/6

J₆ =1/3; J₈ =1/2 J₉ = J₁₀ = J₁₁ =1/3

Т.е. Схема Смита и «изоморфный» ей 12-угольник Бахмана несут в себе всю числовую, геометрическую и алгебраическую информацию о решениях Х_si уравнения дифференцировки ( 4 ) в обратных квадратах.

В ТОРОЙ ПРИМЕР:РИС.26а:

Обходы вершин.

1 вершина (А_I - 2) - 1 раз.

1 вершина (D_IV - 7) - 1 раз.

1 вершин (В_II - 1,3,5) -3 раза.

1 вершина (C_III - 4, 6,12, 13) - 4 раза.

1 вершина (E_V - 8, 10, (15 ?) ) - 2 (3 ?)раза.

1 вершина (F_VI - 9, 11, 13) - 3 раза

ребер - 14 - их номера указаны вначале линий. Вершин - 15 ! Не 14!.

Пока - по 3 раза обход 3-й вершины.

-169-

по 4 раза - 1 вершины.

по 1 разу - 2 вершины.

Н О! Есть из-за «пунктирности» ребер «лишние» обходы вершин! Какие?

Обычно одной вершине отвечает 1-но ребро. На схеме сплошные ребра - 7 пунктир ребер - 7 пунктир точек 7

«разделенных» у нас. 3 квадрата из них 1 на 3 части и так у нас 4+3 = 7 частей.

21₁² + 21₂² + 14₁² + 14₂² + 14₃² + 14₄² + 7₁² + 6₁² + 3₁² + 2₁² = 1764 = 6² 7² =42²

2/2² + 4/3² + 1/6² + 1/7² + 1/14² + 1/21² = 1

1764 = 441 + 441 + 196 + 196 + 196 + 196 + 49 +36 + 9 + 4

РИС.26 б.

В качестве заключения к

этой теме добавим, что урав-нения в обратных квадратах с целочисленными решения-ми обязательно содержат среди s слагаемых одинаковые, в силу чего все их целочисленные решения, как и отвечающие им многоугольники Бахмана-Шмидта лежат на многомерных эллипсоидах меньшей размерности. Причём, при подходящей параметризации многоугольники могут оказаться на гиперболоидах!

-170-

ТЕОРИЯ Ф. БАХМАНА И Э.ШМИДТА

ВВЕДЕНИЕ

Предыдущая глава была посвящена решающему для реализации основного замысла этой книги шагу, хотя и не самому трудному.

Была кратко изложена процедура взаимно однознач-ного переноса всей алгебраической и арифметической информации центрального диофантового уравнения в образ плоского многомерного n- угольника, в результате которой каждому целочисленному известному решению основного (из двух ) уравнения в обратных квадратах-была однозначно сопоставлена электрическая схема Смита, представляемая в виде перекрученного с крат-ным обходом вершин плоского многоугольника, n- уго-льников по терминологии [5, Л-4] , с непрямыми, вооб-ще говоря , ребрами (их искривление требуется при визуализации изображений полиэдров с многократными повторами, наложением на себя.).

Весь используемый ниже математический аппарат в разных долях представляет собой переработанные све-дения как из весьма ценной книги Бахмана и Э. Шмита «n-угольники», за 1973 г. издания [5, Л-4], так и из учеб-ников и монографий Ван дер Вардена , Чеботарева, Скорнякова, Куроша и Г. Биркгофа [6-14, Л-4;] и д.р.

Раздел представляется самым важным, центральным и......трудным, трудным в основном из-за отсутствия многих элементарных основ (они излагаются в учебни-ках и монографиях), трудным отчасти в силу краткости изложения и отсутствия требуемого дублирования и из-быточности информации, наличие которых облегчает работу над текстом, но и приводит к недостатку места, к

-171-

«конкуренции» за «листами» с обильными исходными данными, результатами и выводами.

Именно поэтому предпошлем разделу определенное разъяснение.

Выбранная комбинированная логика изложения использована для возможно более качественного, при неизбежной краткости, ввода читателя в смысл и значение, в перспективу использования полученных результатов, в способ их получения. Изложение ведется в телеграфном стиле - это вынужденная мера - данных и результатов много, места - мало.

Эта книга не учебник и не монография. Для учебника естественнее выбрать индуктивный способ изложения от простого к сложному, аксиоматический, с педантич-ной проработкой всех определений, с тщательной и последовательной мотивировкой, аргументацией.

Монография требует ограничений на тематический объем - многотемье ей противопоказано, необходима глубина проработки. Наш выбор проблематики и по-пытка обоснования обнаруженных нами сквозных зако-номерностей по обширным разделам естествознания с позиции теории симметрий, групп, алгебр, теории Галуа, его композиционных рядов и теории представлений, тео-рии мультиплетов и т. д., и т. п., предопределил стиль и характер последовательности подачи сведений - комби-нированный, смешанный, «вспять».

С начала, к примеру, сообщается центральное опреде-ляющее звено, узловой факт, главная теорема, а затем ниже, позднее, подробнее по убывающей важности при-водятся пояснения, определения с чередующейся мотивацией. (- обычно она в математике отсутствует, матема тик пишет для - двух - трех коллег, полагая, что

-172-

они - то все поймут ! ).

При этом, не слишком интригуя читателя, ему сразу сообщается «конец сюжета, финал », чтобы облегчить чуть позже отслеживание ключевых фактов, соображе-ний, самой фабулы.

Далее. Поскольку мы желаем предъявить читателю определенную перспективу применения используемых идей и подходов ко все более и более конкретным и ,при необходимости, к абстрактным объектам из разнообраз-ных разделов науки, постольку мы попеременно будем излагать путем использования комбинированного ин-дуктивно - дедуктивного стиля и терминологию, и фак-тические теоремы, выводы, следствия на уровнях раз-ного характера, начиная от абстрактного «высокого» уровня, и кончая, по возможности, конкретным.