3. Задача квадрирования квадрата и схемы

СМИТА

Деление квадрата (или прямоугольника) на конечное число не налагающихся друг на друга квадратов, ника-кие два из которых не равны, называют «совершенным квадрированием» квадрата (прямоугольника), а квад-рат (прямоугольник), составленный из неповторяю-щихся квадратов, - «совершенным квадратом (прямо-угольником)». Подразумевается целочисленность ребер у всех фигур. Построить совершенный прямоугольник крайне просто. Рисуется прямоугольник, разрезанный на меньшие прямоугольники и рассматривается как искаженное изображение некоторого квадрируемого

прямоугольника. Поскольку при этом на часть ребер внутренних прямоугольников ложатся несколько мень-ших, то выписываются соотношения между ними, с

Рис.20

-163-

использованием как можно меньшего числа независи- мых величин. Длины выражаются последовательно че-рез друг друга, начиная с меньших. Они выражаются как суммы или разности друг друга. На некоторых гранях получаются условия совместности выражений и через них находятся минимальные, удовлетворяющие значения переменных, через которых выражены все длины ребер. На Рис. 20 дан пример чернового изображения и на Рис. 21 -пропорциональный прямоугольник, ему соответствующий. Ребро на которое попало условие совместности выделено жирным. Внут-ри каждого прямоугольника на рис. 20. дано значение длин его ребер - не смотря на то, что изображен прямо-угольник, подразумевается квадрат! Возможный поря-док записи выражений отражен в нижнем индексе за скобками у каждого выражения длин.

При этом (3х-3y)₉ = (3x+y)₇ +(x)₂ -(y)₁ -(x+3y)₈

(9x-5y)₁₁ +(3x-3y)₉ = (2x+5y)₈ +(x+3y)₆

12x-8y = 3x+8y

9x=16y. Минимальное х=16 и минимальное y=9.Отсюда имеем квадрирование прямоуго-льника (Рис. 20).

Р ис. 21.Решение задачи о квад-рировании квадрата (прямоуголь-ника) имеет связь с некоторыми законами постоянного электри-ческого тока замкнутой цепи - зако-нов Киркгофа. [1-4, Л-4].

Диаграмма электрической цепи, приспособленная к квадрированию квадрата, получила название «схемы или диаграммы Смита» [1-4, Л-4].

-164-

На рис.22. рядом с совершенным прямоугольником по-казана его диаграмма Смита. Каждому горизонтально-му отрезку на схеме разбиения прямоугольника на квад-раты сопоставлена точка («клемма») на диаграмме Сми-та. «Клемма» лежит на продолжении соответствующей ей горизонтальной линии за контур прямоугольника вправо. Любой из входящих в разбиение квадратов огра-ничен сверху и снизу двумя горизонтальными отрезка-ми. На диаграмме Смита его изображением служит ли-ния, или «проводник», соединяющая две точки, одна из которых является изображением верхней стороны квад-рата, а другая -изображением его основания. Предста-вим себе, что по каждому проводнику течет ток. Пусть сила тока численно равна длине стороны квадрата, условно изображенного на диаграмме Смита данным проводни-ком. Пусть ток течет

Р ис.22

в направлении от точки, соответствующей верхней сто-роне прямоугольника, к точке, соответствующей ниж-ней стороне.

Такие токи всегда будут подчиняться правилам Кирх-гофа для замкнутых электрических цепей.

1-е правило: сумма входящих и выходящих токов рав-на нулю - это означает, что сумма длин квадратов сверху и снизу любого горизонтального отрезка равны вдоль ребер квадратов, мы вверх и вниз пройдем одинаковое расстояние.

-165-