Контрольні запитання

1. У чому полягає прямий та обернений хід методу Гауса?

2. Яка система лінійних алгебраїчних рівнянь є невиродженою та добре обумовленою?

3. Як проводиться контроль правильності обчислень за допомогою контрольної та рядкової сум?

4. Якими діями отримано 5-11 рядки таблиці 1?

5. Наведіть достатні умови збіжності методу простої ітерації для систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

6. Поясніть алгоритм методу головних елементів.

Лабораторна робота №5 Методи розв’язування задач про власні значення та власні вектори матриць

1. Метод безпосереднього розгортання

Повну проблему власних значень для матриць невисокого порядку ( ) можна розв’язати методом безпосереднього розгортання. У цьому випадку будемо мати

.

(1)

Рівняння є нелінійним. Його розв’язування дає (можливо, комплексних) власних значень , при яких ( ). Для кожного може бути знайдений розв’язок однорідної системи , . Ці розв’язки , визначені з точністю до сталого множника, утворюють систем різних векторів -вимірного простору.

Методика розв’язування задачі

1. Для заданої матриці скласти характеристичне рівняння і розгорнути отриманий визначник.

2. Розв’язати характеристичне рівняння і знайти власні значення , , ... , .

3. Для кожного власного значення скласти систему , , і знайти власні вектори .

Приклад 1.

Знайти власні значення і власні вектори матриці .

Розв’язування.

1. Запишемо рівняння (1): .

2. Знаходимо корені (власні значення) отриманого характеристичне рівняння: ; .

3. Складаємо систему , , для кожного власного значення і знаходимо власні вектори:

, або

Звідси . Якщо , то , де – довільне дійсне число.

В результаті отримуємо .

Для маємо

або

Звідси . В результаті .

Приклад 2. Знайти власні значення і власні вектори матриці

.

Розв’язування.

1. Запишемо характеристичне рівняння (1):

або .

2. Корені характеристичного рівняння (кратний корінь), – власні значення матриці.

3. Знайдемо власні вектори.

Для запишемо систему :

.

Оскільки , то в системі є лише одне незалежне рівняння або .

Покладаючи , , отримуємо і власний вектор .

Покладаючи , , отримуємо і власний вектор .

Відмітимо, що обидва отримані вектори лінійно незалежні.

Для власного значення запишемо систему :

.

Оскільки , то вибираємо два рівняння:

, .

Звідси , . Покладаючи , отримуємо і власний вектор .

2. Метод обертань

Використовується для розв’язування повної проблеми власних значень симетричної матриці і ґрунтується на перетворенні подібності початкової матриці за допомогою ортогональної матриці .

Дві матриці і називаються подібними, якщо або , де – невироджена матриця.

В методі обертань як береться ортогональна матриця, така, що , тобто .

При реалізації методу обертань перетворення подібності застосовується до початкової матриці багатократно:

, .

(1)

Формула (1) визначає ітераційний процес, де початкове наближення . На кожній -тій ітерації для деякого вибраного при розв’язуванні задачі недіагонального елемента , , визначається ортогональна матриця , що приводить цей елемент (а також ) до нуля. При цьому на кожній ітерації як вибирається найбільший за модулем. Матриця , що називається матрицею обертання Якобі, залежить від кута і має вигляд

В даній ортогональній матриці елементи на головній діагоналі одиничні, окрім і , а , ( – елементи матриці ).

Кут повороту визначається за формулою

; ,

(2)

де , ( вибирається у верхній трикутній наддіагональній частині матриці ).

В процесі ітерацій сума квадратів всіх недіагональних елементів при зростанні зменшується, тобто . Елементи , зведені до нуля на -тій ітерації, при наступній ітерації небагато зростають. При отримується монотонно спадна обмежена знизу нулем послідовність . Тому при . Це означає збіжність методу. При цьому .

Методика розв’язування задачі

1. Покласти , і задати .

2. Виділити у верхній трикутній наддіагональній частині матриці максимальний за модулем елемент , .

3. Якщо для всіх , процес завершити. Власні значення визначаються за формулою , .

Власні вектори знаходяться як -ті стовпчики матриці, що утворюється множенням:

.

Якщо , процес продовжується.

3. Знайти кут повороту за формулою .

4. Скласти матрицю обертання .

5. Обчислити чергове наближення .

Покласти і перейти до п.2.

Зауваження.

1. Використовуючи позначення , можна в п.3 методики обчислювати елементи метриці обертання за формулами

,

.

2. Контроль правильності виконання дій по кожному повороту здійснюється шляхом перевірки збереження сліду перетворюваної матриці.

Приклад 2. Для матриці методом обертань знайти власні вектори і власні значення.

Розв’язування.

1. Покладемо , , .

2. Вище головної діагоналі є тільки один елемент .

3. Знаходимо кут повороту матриці за формулою (2), використовуючи в розрахунках 11 цифр після коми у відповідності із заданою точністю:

; ; .

4. Сформуємо матрицю обертання:

.

5. Виконаємо першу ітерацію:

.

Очевидно, слід матриці із заданою точністю зберігається, тобто . Покладемо і перейдемо до п.2.

2. Максимальний за модулем наддіагональний елемент .

Для розв’язування задачі (відмітимо при ) із заданою точністю знадобилася лише одна ітерація, отриману матрицю можна вважати діагональною. Знайдені такі власні значення і власні вектори:

, , , .

Приклад 3. Знайти власні значення і власні вектори матриці .

Розв’язування.

1. Покладемо , , .

2. Виділимо максимальний за модулем елемент в наддіагональній частині: . Оскільки , то процес продовжується.

3. Знаходимо кут повороту:

,

, .

4. Сформуємо матрицю обертання: .

5. Виконаємо першу ітерацію:

.

Покладемо і перейдемо до п.2.

2. Максимальний за модулем наддіагональний елемент . Оскільки , то процес продовжується.

3. Знайдемо кут повороту:

,

, .

4. Сформуємо матрицю обертання: .

5. Виконаємо другу ітерацію: .

Покладемо і перейдемо до п.2.

2. Максимальний за модулем наддіагональний елемент .

3. Знайдемо кут повороту:

;

, .

4. Сформуємо матрицю обертання .

5. Виконаємо третю ітерацію:

.

Покладемо і перейдемо до п.2.

2. Максимальний за модулем наддіагональний елемент .

3. Знайдемо кут повороту:

;

; .

4. Сформуємо матрицю обертання: .

5. Виконаємо четверту ітерацію:

.

Покладемо і перейдемо до п.2.

2. Оскільки , то процес продовжується.

3. Знайдемо кут повороту

;

; .

4. Сформуємо матрицю обертання: .

5. Виконаємо п’яту ітерацію:

.

Покладемо і перейдемо до п.2.

2. Оскільки найбільший за модулем наддіагональний елемент задовольняє умову , то процес завершується.

Власні значення: ; ; .

Для знаходження власних векторів обчислюємо

.

Звідси , , , або після нормування

, , .

Індивідуальні завдання

Методом безпосереднього розгортання та методом обертань з точністю визначити власні значення та власні функції матриці.

№	матриця	№	матриця	№	матриця	№	матриця
1		2		3		4
5		6		7		8
9		10		11		12
13		14		15		16
17		18		19		20
21		22		23		24
25		26		27		28
29		30		31		32

Контрольні запитання:

1. Розкрити поняття власних значень.

2. Розкрити поняття власних векторів.

3. Чи можуть власні значення бути однаковими.

4. Скільки власних значень має матриця 2 на 2.

5. Скільки власних значень має матриця 4 на 4.

6. Скільки власних векторів має матриця 2 на 2.

7. Скільки власних векторів має матриця 3 на 3.

Лабораторна робота №6

Тема:Інтерполювання функцій

Мета: Вивчити методику та набути практичні навички інтерполювання таблично заданих функції із використанням інтерполяційних многочленів Ньютона і Лагранжа.

Завдання:

1. За таблицею 4 значень функції записати інтерполяційний многочлен Лагранжа. Побудувати його графік та відмітити на ньому вузлові точки , .

2. Обчислити за допомогою калькулятора одне значення заданої функції для проміжного значення аргументу за допомогою інтерполяційного многочлена Ньютона та оцінити похибку інтерполяції (завдання 2 таблиці 5).

3. Користуючись інтерполяційними формулами Ньютона, ущільнити частину таблиці заданої функції (завдання 3 таблиці 5).