Лабораторна робота № 2.

Тема: Розв’язування нелінійних рівнянь з однією змінною.

Мета: Вивчити та набути практичні навички розв’язування нелінійних рівнянь з однією змінною наближеними методами. Завдання:

1. Графічним методом та за допомогою ЕОМ відокремити корені рівняння (див. табл.1).

2. Використовуючи метод простої ітерації обчислити один корінь рівняння з точністю .

3. Розв’язати рівняння комбінованим методом хорд і дотичних.

Теоретичні відомості

Постановка задачі

Якщо функція визначена і неперервна на деякому проміжку , то розв’язання рівняння зводиться до відшукання множини значень , при яких це рівняння перетворюється у тотожність.

Знаходження наближених коренів рівняння складається із двох етапів:

– відокремлення коренів, тобто знаходження досить малих відрізків, на кожному з яких міститься один і тільки один корінь рівняння;

– уточнення кореня із наперед заданою точністю .

Для відокремлення коренів можемо використати відому теорему: якщо неперервна функція на кінцях відрізку приймає значення протилежних знаків ( ), то відрізок містить принаймні один корінь рівняння . А якщо вдасться встановити монотонність функції на , то на цьому відрізку міститься ізольований корінь.

Якщо , то корінь рівняння можна знайти як точку перетину графіків функцій , .

Наведемо, можливо не зовсім коректний, але часто вживаний спосіб відокремлення коренів рівняння на відрізку , де визначена, неперервна і . Точками ( , , ) розбиваємо відрізок на частин. Як тільки і функція монотонна на відрізку , то вважатимемо, що на міститься єдиний корінь. Зауважимо, що при такому відокремленні коренів необхідно вибирати досить малі значення кроку .

Метод хорд

Нехай дано рівняння де функція на відрізку має неперервні похідні першого і другого порядків, які зберігають сталі знаки на цьому відрізку, причому тобто корінь рівняння відокремлений на .

Ідея методу хорд в тому, що на досить малому відрізку дуга кривої замінюється хордою і абсциса точки перетину хорди з віссю є наближеним значенням кореня.

Метод хорд можна записати так:

, де .

Метод Ньютона (дотичних)

Нехай рівняння на відрізку має ізольований корінь , тобто а функції , неперервні і зберігають знаки на відрізку .

Геометричний зміст методу: дуга кривої замінюється дотичною до цієї кривої.

Формула , визначає метод Ньютона.

Як початкове наближення у методі Ньютона треба брати точку , в якій . Як прийнято брати відповідний кінець відрізку .

Комбінований метод дотичних і хорд

Характерна особливість методів дотичних і хорд та, що послідовності їх наближень монотонні. Причому, якщо для даного рівняння послідовність наближень методу хорд монотонно спадна, то послідовність наближень методу дотичних – монотонно зростаюча, і навпаки. Одночасне застосування цих методів дає змогу наближатися до кореня рівняння з двох боків, дістаючи наближення з недостачею і надвишкою.

За наведеними раніше умовами для одного методу як початкове наближення вибирають точку а в іншому точку Після застосовуння методів хорд та дотичних дістають нові наближення і початковий відрізок ізоляції кореня відрізку звузився. Для знаходження нових наближень застосовують метод дотичних і хорд уже на відрізку . У результаті дістають нові наближення відповідно, причому . Такий процес продовжують доки довжина відрізка не стане меншою або рівною величині , де - наперед задана точність.

Метод простої ітерації

Замінимо рівняння рівносильним рівнянням . Нехай - корінь цього рівняння, а – одержане будь-яким способом початковим наближенням до кореня . Підставляючи у праву частину рівняння, одержимо деяке число . Зробимо те ж саме з , одержимо і так далі. Використовуючи крок за кроком співвідношення для одержуємо числову послідовність , ,…, _,…., яку називають ітераційною послідовністю, може бути як збіжною, так і розбіжною.

Теорема збіжності ітераційної послідовності. Нехай рівняння має єдиний корінь на відрізку і виконані умови:

1. визначена і диференційована на ;

2. для всіх ;

3. існує таке дійсне , що для всіх .

Тоді ітераційна послідовність , збігається при будь-якому початковому наближенні .

Перетворення рівняння до ітераційного вигляду

Рівняння може бути приведено до ітераційного вигляду різними способами, проте необхідно зробити так, щоб для функції виконувались умови теореми збіжності. З цією метою рівняння подамо у вигляді , де стала . Тоді позначимо Диференціюючи, отримуємо . Для виконання умови 3 теореми збіжності потрібно . А для цього досить підібрати сталу так, щоб для фіксованого виконувалося

Підставимо це значення у рівняння і отримуємо схему збіжного ітераційного процесу.

Приклад

Варіант	26
1)
			xЄ [	0,2	0,6	]	x наб =	0,4
2)
				=	0,9345
x=x0=	0,4
x1=f(x0)=	0,4169
x2=f(x1)=	0,4096
x3=f(x2)=	0,4127
x4=f(x3)=	0,4114
x5=f(x4)=	0,4120
	0,4117
x ~	0 ,412
3) Метод хорд
М етод дотичних(Ньютона)
Ф ормула , визначає метод Ньютона
a	b	f(a)	f(b)	f'(b)
0,2	0,6	-0,36577	0,263796	1,032645
0,432395	0,344543	0,031125	-0,10627	1,079112
0,412494	0,443027	0,001063	0,04695	1,062542
0,411787	0,398840	-1,6E-05	-0,01991	1,070297
0,411797	0,412832	3,47E-13	0,001579	1,067889
0,411797	0,411354	0	-0,00068	1,068146
0,412	0,412	0	6,15E-08	1,068069