Рівняння параболічного типу.
Мета: навчитися розв’язувати задачі в частинних похідних параболічного типу.
Завдання
Використовуючи метод сіток, скласти
розв’язок змішаної задачі для
диференціального рівняння параболічного
типу
(рівняння теплопровідності) при заданих
початкових умовах
,
,
,
де
.
Розв’язування виконати при
,
для
з чотирма десятковими цифрами, вважаючи
.
Приклад
розв’язання задачі:
,
,
.
Параболічне
рівняння розв’язується методом сіток
поступовим переходом від значень функції
до значень
;
причому
,
де
.
Обчислення виконують за формулою
(
;
).
Усі розрахунки здійснені засобами MS Excel і наведені в таблиці:
Варіанти завдань:
1. |
|
|
|
2. |
|
|
|
3. |
|
|
|
4. |
|
|
|
5. |
|
, |
|
6. |
|
|
|
7. |
|
|
|
8. |
|
|
|
9. |
|
|
|
10. |
|
|
|
11. |
|
|
|
12. |
|
|
|
13. |
|
|
|
14. |
|
|
|
15. |
|
|
. |
16. |
|
, |
. |
17. |
|
|
|
18. |
|
|
|
19. |
|
|
|
20. |
|
|
|
21. |
|
|
|
22. |
|
|
|
23. |
|
|
|
24. |
|
|
|
25. |
|
|
|
26. |
|
|
|
27. |
|
|
|
28. |
|
|
|
29. |
|
|
|
30. |
|
, |
|
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
,
,
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
.
,
,
.
,
,
,
.
Контрольні запитання:
1. Рівняння теплопровідності.
2. Розрахункові формули.
Лабораторна робота №15
Тема: Наближені методи розв’язування задач в частинних похідних.
Рівняння гіперболічного типу.
Мета: навчитися розв’язувати задачі в частинних похідних гіперболічного типу.
Завдання:Використовуючи
метод сіток, скласти розв’язок змішаної
задачі для рівняння коливання струни
з початковими умовами
,
(
)
і крайовими умовами
,
.
Розв’язування виконати з кроком
,
визначаючи значення функції
з чотирма десятковими знаками, причому
.
Приклад
розв’язання задачі:
,
,
,
.
Для
розв’язування скористаємося
співвідношенням
,
де
;
.
При
цьому
,
а для визначення
можна використати один із можливих
прийомів, наприклад,
,
причому
,
(
),
,
,
(
).
Зокрема,
;
.
Розв’язування по наведеним формулам зручно виконувати в таблиці, яка і є розв’язанням даної задачі.
Порядок заповнення таблиці:
1.
Обчислюємо
при
і записуємо їх до першого рядка (він
відповідає значенню
).
2.
Обчислюємо значення
при
і записуємо їх до першого стовпця таблиці
(він відповідає значенню
).
3.
Заносимо значення
до останнього стовпчика таблиці (він
відповідає значенню
).
4.
Обчислюємо значення
за формулою
,
де
та
беруться із першого рядка таблиці, а
,
(
),
.
Результати записуємо до другого рядка
таблиці.
5.
Обчислюємо значення
в наступних рядках за формулою
,
де значення
,
,
беруться із двох попередніх рядків
таблиці.
|
0 |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
0.9 |
1.0 |
0.0 |
0 |
0.198 |
0.384 |
0.546 |
0.672 |
0.750 |
0.768 |
0.714 |
0.576 |
0.342 |
0 |
0.1 |
0.005 |
0.2381 |
0.4247 |
0.5858 |
0.7092 |
0.7827 |
0.7942 |
0.7314 |
0.5824 |
0.3351 |
0 |
0.2 |
0.02 |
0.2317 |
0.4398 |
0.5878 |
0.6965 |
0.7533 |
0.7461 |
0.6626 |
0.4905 |
0.2404 |
0 |
0.3 |
0.045 |
0.2218 |
0.3948 |
0.5505 |
0.6320 |
0.6599 |
0.6218 |
0.5052 |
0.3206 |
0.1554 |
0 |
0.4 |
0.08 |
0.2082 |
0.3325 |
0.4390 |
0.5140 |
0.5004 |
0.4190 |
0.2798 |
0.1701 |
0.0802 |
0 |
0.5 |
0.125 |
0.1907 |
0.2523 |
0.2959 |
0.3074 |
0.2731 |
0.1584 |
0.0839 |
0.0393 |
0,0147 |
0 |
Даний
приклад зручно розв’язувати засобами
MS
Excel.
Варіанти завдань:
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
10. |
|
11. |
|
12. |
|
13. |
|
14. |
|
15. |
|
16. |
|
17. |
|
18. |
|
19. |
|
20. |
|
21. |
|
22. |
|
23. |
|
24. |
|
25. |
|
26. |
|
27. |
|
28. |
|
29. |
|
30. |
,
,
|
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
.
Контрольні запитання:
1. Коливання струни.
2. Що означають крайові умови.