Лабораторна робота №13
Тема:Наближені методи розв’язування задач в частинних похідних
Рівняння еліптичного типу.
Мета: навчитися розв’язувати задачі в частинних похідних еліптичного типу.
Завдання:
Використовуючи метод сіток, побудувати
розв’язок диференціального рівняння
Лапласа
із заданими крайовими умовами; крок
.
Приклад
розв’язування задачі:
(Г);
.
1. Використовуючи симетрію заданих початкових умов, побудуємо розв’язок тільки у першій четверті (рис.1).
Рис.1 |
Візьмемо
крок
і складемо таблицю значень
та
.
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
3 |
2,90 |
2,60 |
1,98 |
0 |
На рисунку хрестиками позначені крайові точки, а кружечками – внутрішні.
Обчислимо
значення функції
на межі:
-
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
.
Для визначення початкових значень функції у внутрішніх точках складемо систему рівнянь, що містять ці значення. Кожне рівняння одержується прирівнюванням значення функції у середній точці середньому арифметичному чотирьох значень у сусідніх точках:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Розв’язуючи
цю систему, отримуємо
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Знайдені значення функції дозволяють скласти шаблон №1, у якому внутрішні значення відповідають знайденим, а крайові отримуються у результаті уточнення попередніх крайових значень за формулою лінійної інтерполяції
,
де
– вузлова крайова точка;
– найближча до
точка, що лежить на межі;
– найближча до
вузлова точка, що лежить всередині
області;
– віддаль між точками
і
,
взята зі знаком плюс, якщо точка
лежить всередині області, і зі знаком
мінус, якщо вона лежить поза областю.
У даному прикладі маємо:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
-
Шаблон №1
1,5
1,94
2,43
1,91
2,05
2,10
2,49
2,05
2,11
2,18
2,34
2,40
2,11
2,13
2,19
2,28
2
2. Потім починається процес уточнення значень, що входять до шаблону №1. Кожен наступний шаблон одержується із попереднього таким чином: значення функції у внутрішніх точках рівні середньому арифметичному чотирьох сусідніх значень попереднього шаблону, а значення функції у крайових точках знаходяться за формулою лінійного інтерполювання, вже використаної при отриманні шаблону №1. Це уточнення здійснюється доти, доки два послідовні шаблони не співпадуть із заданою точністю. У результаті обчислень отримуємо таку послідовність шаблонів:
-
№2
1,5
1,94
2,31
1,91
2,02
2,29
2,49
2,06
2,10
2,18
2,34
2,40
2,09
2,13
2,19
2,22
2
-
№3
1,5
1,94
2,33
1,90
2,06
2,25
2,49
2,05
2,10
2,23
2,32
2,41
2,10
2,12
2,18
2,22
2
-
№4
1,5
1,94
2,31
1,92
2,05
2,28
2,49
2,05
2,12
2,21
2,34
2,40
2,09
2,12
2,20
2,20
2
-
№5
1,5
1,94
2,33
1,91
2,06
2,26
2,49
2,06
2,11
2,23
2,33
2,40
2,09
2,14
2,19
2,22
2
-
№6
1,5
1,94
2,31
1,92
2,06
2,28
2,49
2,06
2,12
2,22
2,34
2,40
2,10
2,13
2,20
2,21
2
-
№7
1,5
1,94
2,32
1,91
2,06
2,27
2,49
2,06
2,12
2,23
2,33
2,41
2,10
2,20
2,22
2,22
2
-
№8
1,5
1,94
2,32
1,92
2,06
2,27
2,49
2,06
2,12
2,23
2,33
2,41
2,10
2,13
2,20
2,22
2
Шаблон №8 є відповіддю.
Варіанти завдань:
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
(Г) |
|
5 |
(Г) |
|
6 |
(Г) |
|
7 |
(Г) |
|
8 |
(Г) |
|
9 |
|
|
10 |
(Г) |
|
11 |
(Г) |
|
12 |
(Г) |
|
13 |
(Г) |
|
14 |
(Г) |
|
15 |
|
|
16 |
(Г) |
|
17 |
|
|
18 |
(Г) |
|
19 |
(Г) |
|
20 |
(Г) |
|
21 |
(Г) |
|
22 |
|
|
23 |
|
|
24 |
(Г) |
|
25 |
(Г) |
|
26 |
(Г) |
|
27 |
(Г) |
|
28 |
|
|
29 |
(Г) |
|
30 |
|
|
(Г)
(Г)
(Г)
(Г)
(Г)
(Г)
(Г)
(Г)
(Г)
(Г)
Контрольні запитання:
1. В чому полягає метод сіток?
2. Записати диференціальне рівняння Лапласа
Лабораторна робота №14.
Тема:Наближені методи розв’язування задач в частинних похідних.