Контрольні запитання

1. Що таке сплайн, які його властивості?

2. Як будується кубічний сплайн?

3. Яка різниця між сплайн-інтерполюванням та інтерполюванням многочленами виду Лагранжа та Ньютона?

4. Як перевірити правильність побудови кубічного сплайна?

Лабораторна робота №8

. Метод найменших квадратів

Мета: Отримати практичні навички аналізу та опрацювання даних, одержаних у результаті експерименту. Вивчити найпростіші аналітичні прийоми побудови емпіричних залежностей за допомогою методу найменших квадратів.

Завдання:

1. За даними таблиці 1 побудувати графік та визначити вид емпіричної залежності (лінійна, степенева, показникова тощо).

2. За методом найменших квадратів апроксимувати функцію та відшукати числові значення її параметрів.

3. Графічно зобразити табличні дані (графік 1) та розрахункові результати (графік 2).

4. Розробити алгоритм та програму розв’язування задачі.

Підготовка до виконання роботи

За результатами експерименту (табл.1) потрібно скласти точковий графік, за допомогою якого вибрати відповідний вигляд апроксимуючої функції. Побудова точкового графіка і вибір виду апроксимуючої функції значно полегшуються при вмілому розміщенні графіка у системі координат та правильному виборі масштабів на осях OX і OY, які підкреслюють характер даної залежності. Варто зауважити, що при побудові емпіричної формули завжди можна досягти, щоб вихідне значення аргументу і функції були додатні. Для цього достатньо зробити паралельне перенесення у напрямку осей, тобто практично перейти до нових змінних. Відзначимо, що при таких перетвореннях у записі кінцевого результату необхідно повернутися до початкових позначень.

Метод найменших квадратів

Нехай у результаті вимірів отримана дискретна таблиця деякої залежності:

Таблиця 1

			…
			…

Потрібно знайти формулу, що виражає цю залежність аналітично, тобто знайти функцію заданого виду , яка у точках , , …, приймає значення якомога ближчі до табличних значень , , …, .

Практично вигляд функції , що наближає, можна визначити таким чином. За таблицею 1 будується точковий графік функції , а потім проводитися плавна крива, що найкраще, по можливості, відображає характер розташування точок. За отриманою у такий спосіб кривою встановлюється вигляд апроксимуючої функції.

Для наближення функцій у залежності від характеру точкового графіка функції часто використовують такі функції: 1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) , 7) , 8) , де , , , - невідомі параметри.

Коли вигляд функції, що наближається, встановлений, задача зводиться тільки до відшукання значень параметрів апроксимуючих функцій.

Задача наближення дискретної функції , заданої табл. 1, методом найменших квадратів формулюється наступним чином: знайти параметри функції визначеного виду так, щоб сума квадратів відхилень аналітичної функції від дискретної у кожній точці була найменшою.

Розглянемо метод відшукання параметрів функції, що наближає, у загальному виді на прикладі функції з трьома параметрами .

Будуємо функцію нев’язки (невідповідності) . Задача зводиться до відшукання мінімуму функції від параметрів , , . Скористаємося необхідною умовою екстремуму функції кількох змінних: , , , тобто

,

,

.

Розв'язавши цю систему трьох рівнянь із трьома невідомими , , , ми одержимо конкретний вид шуканої функції .

Природно очікувати, що значення знайденої функції у точках , , , будуть відрізнятися від табличних значень , , , . Значення різниць , ( ) називаються відхиленнями вимірюваних значень від значень аналітичної функції . Неважко знайти суму квадратів відхилень , яка відповідно принципу найменших квадратів, для заданого виду апроксимуючої функції повинна бути найменшою.

Кращим наближенням вважається те, при якому сума має найменше значення.

Знаходження апроксимуючої функції у вигляді лінійної функції та квадратного тричлена (лінійна та квадратична регресії).

Шукаємо апроксимуючу функцію у вигляді

Знаходимо частинні похідні по параметрах , .

Складемо тепер систему

,

.

Після ділення кожного рівняння на , отримуємо

,

.

Уведемо позначення , , , .

Тоді система прийме вигляд

,

.

Після розв’язування цієї системи, одержимо значення шуканих параметрів та .

У випадку відшукання апроксимуючої функції у виді квадратного тричлена маємо

.

Знаходимо частинні похідні: , , .

Складемо систему

,

,

.

Після нескладних перетворень отримуємо систему трьох лінійних рівнянь із невідомими , і :

,

,

.

Тут , , .

Розв’язання системи дає значення параметрів , і для апроксимуючої функції виду 2).

Відшукання апроксимуючої функції у вигляді інших елементарних функцій

Покажемо як знаходження апроксимуючої функції із двома параметрами (див. 1)-8)) може бути зведена до відшукання параметрів лінійної функції.

Випадок 3). Степенева функція (геометрична регресія) .

Логарифмуємо за умови , : .

Оскільки функція наближує функцію , то функція буде наближенням для . Введемо нову змінну . Тоді буде функцією від : . Позначимо

Тепер задача звелася до апроксимації лінійної функції .

Оскільки нескладними перетвореннями даних задача зводиться до відшукання параметрів лінійного рівняння типу 1), то подібним чином наближуються усі інші функції 1)-8).

Тому основні кроки алгоритму можна сформулювати так:

1. Введення початкових даних.

2. Вибір виду рівняння регресії.

3. Перетворення даних до залежності лінійного типу.

4. Одержання параметрів рівняння регресії.

5. Обернене перетворення даних і обчислення суми квадратів відхилень обчислених значень функції від заданих.

6. Виведення результатів.

Приклад. Методом найменших квадратів побудувати многочлен другого степеня, що наближав би функцію, задану таблицею:

	-1,71	-1,08	-0,45	0,18	0,81	1,44	2,04
	0,1173	0,4934	0,7008	0,8862	0,9415	0,8748	0,7251

Шукатимемо многочлен у вигляді .

Отже, .

Для знаходження коефіцієнтів цього многочлена складаємо систему

.

Перепишемо цю систему в такому вигляді:

.

Обчислимо коефіцієнти системи:

0 1 2 3 4 5 6	-1,71 -1,08 -0,45 0,18 0,81 1,44 2,07	2,9241 1,1664 0,2025 0,0324 0,6561 2,0736 4,2849	-5,00021 -1,25971 -0,09113 0,00583 0,53144 2,98598 8,86974	8,55036 1,36049 0,04101 0,00105 0,43047 4,29982 18,36037	0,1173 0,4934 0,7008 0,8862 0,9415 0,8748 0,7251	-0,20058 -0,53287 -0,31536 0,15952 0,76262 1,25971 1,50096	0,34300 0,57550 0,14191 0,02871 0,61772 1,81399 3,10698
	1,26000	11,34000	6,04195	33,04356	4,73910	2,63399	6,62781

Остаточно отримуємо систему рівнянь

По­ділимо ліву і праву частини кожного з рівнянь на 7, упорядкуємо невідомі, і отримаємо систему рівнянь у такому вигляді

Для розв’язування системи скористаємося методом Гауса.

Таблиця 9.

			Вільні члени	Контрольна сума
1 0,18000 1,62000	0,18000 1,62000 0,86313	1,62000 0,86313 4,72051	0,67701 0,37629 0,94683	3,47701 3,03942 8,15047
1	0,18000	1,62000	0,67701	3,47701
	1,58760 0,57153	0,57153 2,09611	0,25443 -0,14993	2,41356 2,51771
	1	0,36000	0,16026	1,52026
		1,89036	-0,24152	1,64884
1	1	1	-0,12776 0,20625 0,84686	0,87224 1,20625 1,84686

Отже, .

Обчислимо відхилення .

Таблиця 10.

-1,71 -1,08 -0,45 0,18 0,81 1,44 2,07	0,1204 0,4750 0,7282 0,8799 0,9302 0,7882 0,7263	0,1173 0,4934 0,7008 0,8862 0,9415 0,8748 0,7251	0,0031 0,0184 0,0274 0,0063 0,0113 0,0866 0,0012	0,0000 0,0003 0,0008 0,0000 0,0001 0,0075 0,0000

Маємо .

Індивідуальні завдання.

варіант			варіант			варіант
1	0 1 2 3 4 5	0,2 0,6 1,2 1,4 1,6 1,7	21	0 1 2 3 4 5 6	1,8 1,9 2,3 2,5 2,8 3,1 2,5	41	6,2 2,6 0 0,3 1,4 6,5	6,4 2,5 0 0,4 1,2 6,8
2	-2 -1 0 1 2 3	3,1 2,8 2,5 2,0 1,7 2,2	22	0 1 2 3 4 5 6	3,5 3,2 2,9 2,1 3,0 3,2 3,5	42	-3 -1 1 3 6 9	3,1 3,6 4,2 4,8 5,6 6,4
3	-6 -4 -3 -1 0 3	2,5 1,2 0,4 -0,5 -1,3 1,1	23	-2 -1 0 1 1,5 2	7,7 1,3 0 1,3 4,6 7,7	43	-2 -1 0 1 2 3 4	-0,3 0,5 1,5 0,5 0,3 -0,2 -1,2
4	-1 0 1 2 3 4 5	2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,5 2,4	24	-3 -2 -1 0 1 3	5,8 3,6 3,1 2,8 3,1 5,8	44	3,5 4 5 5,5 6 6,5	7,5 4,6 3,5 3,8 4,7 7,5
5	-6 -2 0 1 3 7	-1,9 0,6 2,0 2,7 4,1 6,7	25	-3 -1 0 1 3 4 6	1,7 3,3 5,1 6,6 5,6 4,0 3,5	45	-6 -4 -1 1 2 5	-2,0 -1,0 -2,3 -3,1 -3,5 -4,7
6	0 1 2 3 4 5	0,5 0,8 1,3 1,7 1,9 2,5	26	-2 -1 0 1 2 3 4	0,3 -0,5 -1,5 -0,5 -0,1 0,2 1,2	46	-4 -2 -1 1 2 4	-2,6 -1,7 -0,9 0,9 1,7 2,6
7	-3 -2 -1 0 1 2	1,7 1,2 1,0 0,5 -0,2 0,5	27	-1 0 1 2 3 4 5	-6,1 -5,8 -5,2 -4,8 -4,5 -5,0 -5,2	47	0,25 0,5 1,0 2,0 3,0 5,0	-2,8 0,0 0,9 1,9 2,5 2,8
8	-2 -1 0 1 2 4	1,8 1,2 0,2 -0,9 -1,9 2,4	28	-4 -3 -2 0 1 4	11,3 3,1 0,7 0 0,2 11,3	48	1,5 2 3 4 5 6	-1,0 0,7 2,6 2,8 2,0 2,2
9	-4 -3 -1 0 1 2 3	-1,8 -1,5 -1,1 -1,3 -1,4 -1,6 -1,9	29	1 3 5 7 8 9	4,6 5,7 5,9 5,6 4,7 4,1	49	-6 -5 -4 -3 -2 -1 0	-2,4 -2,5 -2,5 -2,4 -2,3 -2,2 -2,1
10	-6 -2 1 3 5 7	-2,6 1,9 1,5 2,7 5,4 5,0	30	0 1 2 3 4 5 6	1,7 1,9 2,5 2,9 3,1 2,8 2,4	50	1,5 2,0 2,5 3,5 4,5 5,5	3,1 1,3 0,6 0,0 0,6 2,5
11	-1 0 1 2 3 4	3,1 2,8 2,4 2,1 1,9 2,2	31	-3 -2 -1 0 1 2 3	-0,8 -0,5 -0,2 0,5 1,0 1,2 1,7	51	-2 -1,5 -1 0 1,5 2	-3,1 -4,1 -5,1 -5,6 -4,2 2,5
12	1 2 3 4 5 7	1,2 1,7 3,3 5,1 4,6 1,9	32	-4 -3 -1 0 2 4	9,5 0,1 -28 3,0 2,2 9,5	52	1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2	-2,3 -1,5 -0,1 2.0 4,1 3,3
13	0 1 2 3 4 6	1,7 1,9 2,4 2,7 3,1 2,5	33	-7 -5 0 1 2 4	5,4 3,5 1,3 2,4 -3,3 -5,2	53	-3,2 -2,1 1,3 2,1 3,9 4,2	5,8 4,3 3,1 -2,4 -3,5 2,3
14	0 1 2 3 4 5 6	3,1 3,3 3,4 3,7 3,2 2,9 1,1	34	0,25 0,5 1,0 2,0 3,5 5,0	-2,0 -2,5 -4,3 -5,2 -5,9 -6,2	54	-1 1 1,5 2 3,1 3,5 4	-2 1 2 3 5 6 8
15	-6 -2 0 2 5 7	-4,3 -2,2 -1,0 0,1 1,6 2,7	35	0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0	-4,2 -2,8 -2,2 -1,6 -1,3 -0,9	55	-1 0 1 2 3 4 5	-3,1 -2,8 -1,2 -2,8 -4,5 -5,0 -5,2
16	-2 -1 0 1 2 3 4	-0,3 0,5 0,8 1,8 0,8 0,4 0,0	36	1 2 3 4 5 6	4,7 5,1 5,5 5,8 6,2 6,6	56	-3 -1 1 3 6 9	3,1 2,6 1,2 0,8 2,6 3,4
17	-3 -2 -1 0 1 2 3	4,8 4,2 3,7 3,6 3,3 3,1 2,8	37	-1 0 1 2 3 4 5	3,1 4,5 4,9 5,1 5,5 5,2 5.0	57	-3 -2 -1 0 1 3	2,8 1,6 1,1 2,8 3,1 6,8
18	-1,5 -1 0 1 1,5 2	6,0 2,8 1,6 2,8 6,0 8,7	38	-7,5 -6,5 -6,0 -5,5 -5,0 -4,5	8,4 4,3 4,0 4,4 5,3 8,4	58	-2 -1 0 1 2 3 4	2,3 -1,5 0,8 2,8 3,8 4,4 5,0
19	-5 -3 -1 1 3 5	-5,6 -4,5 -3,5 -2,4 -1,3 0,3	39	-4 -2 -1 1 2 4	7,8 4,7 3,4 0,4 -1,2 -4,1	59	0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0	-2,2 -1,8 -2,2 -1,6 -1,8 -2,9
20	0 1 2 3 4 5 6	-1,2 -0,5 -0,2 0,3 0,7 1,1 1,4	40	1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5	0,0 15 2,0 2,2 2,3 2,4	60	-1,5 -1 0 1 1,5 2	-3,0 -2,8 1,6 -2,8 -3,0 -4,7

Контрольні запитання

1. У чому полягає загальна постановка задачі апроксимації?

2. Що таке емпірична функція або формула?

3. У чому полягає різниця між задачами апроксимації та інтерполювання?

4. У чому полягає суть методу найменших квадратів?

5. Що є умовою мінімуму критерію квадратичного відхилення?

6. Як перевірити відповідність емпіричної формули даним експерименту?

7. Як одержати системи рівнянь для визначення параметрів при лінійному, квадратичному, показниковому та степеневому наближенні за методом найменших квадратів?

Лабораторна робота №9

Тема:Чисельне диференціювання та інтегрування функцій

Мета: Отримання навичок диференціювання та інтегрування функції;

використання формул Лагранжа, Ньютона, Сімпсона, Ньютона-Котеса, трапецій;

побудови програм для обчислення значень похідних та інтеграла заданої функції.

Завдання:

– обчислити значення першої та другої похідної функції, використовуючи інтерполяційні формули Ньютона;

– обчислити визначений інтеграл функції на за формулами трапецій та Сімпсона при діленні відрізку на рівних частин, провести оцінку похибки методів інтегрування і порівняти точність отриманих результатів.