Теоретичні відомості та методичні рекомендації
Інтерполяційний многочлен Лагранжа
Нехай
на відрізку
функція
задана своїми значеннями
у точках
,
,
,
,
.
Інтерполяційний многочлен Лагранжа
має вигляд
|
(1) |
.Оцінка похибки інтерполяційного многочлена Лагранжа:
-
(2)
де
,
.
Першою
інтерполяційною формулою Ньютона
зручно користуватись при інтерполюванні
на початку відрізка
при невеликому значенні
.
.
Після
позначення
маємо
|
(3) |
Оцінка
похибки
першої формули Ньютона.
.
Друга інтерполяційна формула Ньютона використовується при інтерполюванні у кінці відрізку при невеликому значенні .
|
Введемо
позначення
,
.
Тоді
|
(4) |
Оцінка
похибки
другої формули Ньютона.
.
Приклад 1. Побудувати інтерполяційний многочлен Лагранжа для функції, заданої табл. 1.
-
Таблиця 1
1
3
4
12
4
6
Розв’язання.
Із табл. 1 випливає, що
,
,
,
,
,
.
Маємо
.
Приклад 2.
У таблиці 2 дано значення функції
.
Застосовуючи першу інтерполяційну
формулу Ньютона, знайти
.
Розв’язування.
Будуємо скінчені різниці функції
;
обмежимось третьою скінченою різницею.
Як
приймаємо число найближче до заданого,
тобто покладаємо
.
Оскільки крок
,
то
.
Маємо
.
-
Таблиця 2
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
0, 0540
0, 0440
0, 0355
0, 0283
0, 0224
0, 0175
0, 0136
-0, 0100
-0, 0085
-0, 0072
-0, 0059
-0, 0049
-0, 0049
0, 0015
0, 0013
0, 0013
0, 0010
0, 0000
-0, 0002
0, 0000
-0, 0003
-0, 0010
Для виконання завдання 3 за даною таблицею функції із рівновіддаленими значеннями аргументу складається таблиця скінчених різниць і визначається порядок інтерполяційного полінома Ньютона. У залежності від розташування ділянки субтабулювання відносно вихідної таблиці і потреби у скінчених різницях обирається перша
|
або
друга
інтерполяційні формули Ньютона. Вихідні дані для виконання завдання 3 (номер таблиці функції, кінці відрізку і крок субтабулювання) беруться із таблиці 5. У програмі субтабулювання передбачити обчислення похибки методу за однією із формул:
,
або
|
,
.Перед виконанням завдання корисно розглянути наступний приклад.
Дано
п’ятизначну таблицю
на відрізку
із кроком
.
Потрібно зробити крок
на відрізку
.
За даною таблицею відразу складемо таблицю скінчених різниць (за зразком табл.3). Для скорочення записів скінчені різниці записують тільки значущими цифрами. Треба відмітити, що скінчені різниці другого порядку вже практично близькі до нуля у межах точності таблиці. Тому при використанні першої інтерполяційної формули Ньютона обмежимось трьома першими доданками:
.
Якщо
використовуємо першу формулу Ньютона,
то у даному випадку природно прийняти
.
Значення
для кожного значення
знаходимо за формулою
.
Отримані результати потрібно округлити до точності вихідної таблиці (треба відмітити, що обчислені похибки інтерполяції повністю забезпечують правильність п’яти знаків після коми у всіх отриманих значеннях функції).