9. Метод варіації довільних сталих.

Розглянемо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами:

,

де будь-яка функція.

Розв’язок цього рівняння буде мати вигляд:

,

де частинні розв’язки відповідного диференціального однорідного рівняння, які знаходимо за таблицею 1, функції, які є розв’язком системи рівнянь :

Література

1. Вища математика: основні означення, приклади і задачі: У двох книгах/

За редакцією Г.Л.Кулініча та І.П.Васильченка.- К.: Либідь, 1994.

2. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика.- К.: Вища школа, 1993.

3. Богомолов М.В. Практичні заняття з математики.- К.: Вища школа, 1979.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.1.- М.:Наука, 1976.

5. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.- М.: Наука, 1975.

Тема 3. Ряди

Числові ряди. Основні поняття

Нехай нескінченна послідовність чисел. Вираз називається числовим рядом.

Ряд називається збіжним, якщо послідовність його часткових сум , де , має кінцеву границю, тобто . Число називається сумою ряду.

Ознаки збіжності додатних числових рядів

Необхідна умова збіжності

Якщо ряд збігається, то його загальний член прямує до нуля при , тобто .

Наслідок. Якщо , то ряд розбігається.

Ознака збіжності Даламбера

Якщо , то

Інтегральна ознака Коші

Розглянемо ряд . Нехай неперервна, додатна функція, яка не зростає для і

Тоді для збіжності ряду необхідно і достатньо, щоб збігався невласній інтеграл .

Гранична ознака порівняння

Нехай є два ряда , .

Якщо , де , , то ці два ряда або одночасно збігаються, або одночасно розбігаються.

Такі ряди називають еквівалентними та позначають це так:

.

Знакопочережні ряди

Числовий ряд називається знакопочережним , якщо його члени, що стоять поруч, мають різні знаки.

Такі ряди мають вигляд:

(1)

, (2)

де абсолютна величина члена ряду.

Ознака Лейбніца

Якщо в закопочережному ряді (2) члени такі, що

1)

2) ,

то ряд збігається, його сума додатна і не перевершує перший член ряду.

Знакопочережний ряд називається умовно збіжним, якщо він збіга-

ється, а ряд, складений з абсолютних величин його членів, розбігається.

Знакопочережний ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд з абсолютних величин його членів.

Функціональні ряди. Поняття степеневого ряду.

Радіус та інтервал збіжності степеневого ряду.

Вираз виду називається функціональним рядом, якщо функція.

Функціональний ряд виду називається степеневим, якщо числові коефіцієнти.

Для визначення радіуса та інтервалу збіжності степеневого ряду існує границя

або .

Число називається радіусом збіжності степеневого ряду, а інтервалом збіжності.