6. Диференціальні рівняння вищих порядків. Диференціальні рівняння, що припускають зниження порядку

Диференціальним рівнянням -го порядку називається рівняння вигляду . Розв’язком такого рівняння називається будь-яка диференційована n разів функція , яка перетворює дане рівняння на тотожність, тобто

.

Задача Коші для цього рівняння полягає у тому, щоб знайти розв’язок рівняння, який задовольняє умовам: при , де - числа, які називаються початковими умовами.

Функція називається загальним розв’язком даного диференціального рівняння -го порядку, якщо при відповідному виборі довільних сталих ця функція є розв’язком будь-якої задачі Коші, що поставлена для цього рівняння. Будь-який розв’язок, який отриманий із загального розв’язку при конкретних значеннях сталих , називається частинним розв’язком цього рівняння.

1. Рівняння вигляду .

Розв’язок цього рівняння отримується - кратним інтегруванням, тобто:

,

,

,

, де

.

2) Диференціальне рівняння , що явно не містить шукану функцію , за допомогою підстановки ; зводять до відповідного рівняння першого порядку . Розв’язок цього рівняння знаходять, виходячи з його типу, а потім, для отримання загального розв’язку початкового рівняння, .

3) Диференціальне рівняння вигляду , що явно не містить незалежну зміну , підстановкою зводять до диференціального рівняння першого порядку

7. Лінійні однорідні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами

Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку називається рівняння

.

Якщо та є сталі числа, то рівняння називається лінійним диференціальним рівнянням другого порядку із сталими коефіцієнтами.

Якщо , то рівняння називається однорідним, якщо неоднорідним.

Загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння має вигляд:

,

де та лінійно-незалежні частинні розв’язки рівняння, тобто , а довільні сталі.

Для знаходження треба розв’язати характеристичне рівняння:

.

Можливі наступні випадки:

корені характери- стичного рівняння	частинні розв’язки	‒ загальний розв’язок
дійсні різні числа,
дійсні однакові числа
комплексно- спряжені числа, уявна одиниця, дійсні числа.

8. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами із спеціальною правою частиною

Розглянемо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами:

.

Якщо права частина лінійного неоднорідного рівняння є функцією спеціального вигляду, то рівняння можна розв’язати методом невизначених коефіцієнтів, і загальний розв’язок має вигляд:

,

де загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння, частинний розв’язок неоднорідного рівняння, який залежить від функції та коренів характеристичного рівняння .

Можливі такі випадки:

1. Нехай , де многочлен степеня , тобто

, тоді:

а) якщо , тоді частинний розв’язок обираємо у вигляді , де многочлен ступеню з невідомими коефіцієнтами, тобто, якщо

,

,

,

;

б) якщо , тоді ;

в) якщо , тоді .

Зауваження 1. Для знаходження невідомих коефіцієнтів многочлена треба підставити функцію та її похідні першого та другого порядку в вихідне рівняння та прирівняти коефіцієнти при однакових ступенях з обох його сторін. Таким чином, дістанемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, з якої визначимо невідомі коефіцієнти.

2. Нехай , де многочлени степенів та , тоді існують такі випадки:

а) якщо , тоді , де многочлени ступеню з невідомими коефіцієнтами;

б) якщо , тоді .

Зауваження 2. У цьому випадку для знаходження невідомих коефіцієнтів многочленів та діємо так само, але прирівнюємо коефіцієнти при , внаслідок чого знов дістанемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, з якої визначимо невідомі коефіцієнти.

Якщо, , де та функції спеціального вигляду, то частинний розв’язок неоднорідного лінійного рівняння має вигляд

,

де та частинні розв’язки лінійних неоднорідних рівнянь

та відповідно.