Правила диференціювання

1.

2.

3.

4.

Дотична і нормаль

- рівняння прямої через т. ;

- геометричний зміст похідної;

- рівняння дотичної;

- умова перпендикулярності прямих;

- рівняння нормалі.

Дотична і нормаль до даної лінії в заданій точці – це є прямі, що проходить через точку дотику .

Геометричний зміст похідної в даній точці : значення похідної в даній точці є тангенс кута , під яким дотичне до кривої в точці перетинає вісь . Нормаль перпендикулярна до дотичної в точці дотику . Тому слід використати умову перпендикулярності двох прямих: .

Екстремум функції

Для дослідження функції і побудови її графіка студент повинен добре знати, що при зростанні функції - , при спаданні - і розуміти різницю між необхідною та достатньою умовами існування екстремума функції а також необхідною і достатньою умовами існування точок перетину.

або не існує – необхідна умова існування екстремуму;

або не існує – необхідна умова існування точок перетину.

Із цих умов знаходяться критичні точки.

Достатня умова для існування екстремуму в т. або точки перегину – зміна знака відповідно першої і другої похідної при переході через критичну точку.

– функція зростає ↗ ; – функція спадає ↘ ;

– функція вгнута ; – функція опукла .

Диференціювання складних функцій з кількома змінними

1. , де , то , . 2. , де , то . 3. , де , то .

4. , .

5. , у точках неперервності.

Зауваження: слід чітко розуміти, що і є відповідно повна і частинна похідні.

Для наближеного обчислення значення функції в точці слід користуватися формулою:

Якщо функція задається неявно:

, де , то ; . , .

Рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні в точці :

– рівняння дотичної площини;

– рівняння нормалі.

48