1.3. Амплитудно-частотная и фазовая характеристики

И з формул (8) и (9) видно, что амплитуда тока I и его фазовый сдвиг φ зависят от частоты приложенного напряжения: I=I(ω) и φ=φ(ω). Зависимость I(ω), определяемая формулой (8), называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) последовательного контура. График АЧХ (8) показан на рис. 4,а. Из формулы (8) очевидно, что I→0 при ω→0 и при ω→∞, а при ω= ток I→I_max= .

Зависимость φ(ω), определяемая выражением (9), называется фазовой характеристикой последовательного контура, или его фазо-частотной характеристикой (ФЧХ). Общий вид ФЧХ показан на рис. 4,б.

Частота ω, при которой ток через контур и напряжение на нём становятся синфазными (φ=0), называется резонансной, а процесс, протекающий в контуре при этой частоте – резонансом. Из формулы (9) видно, что в последовательном контуре условие φ=0 выполняется при частоте ω=ω₀, т.е. резонансная частота в точности совпадает с собственной ω₀, при которой амплитуда в контуре максимальна (рис. 4,а).

1.4. Полоса пропускания контура. Добротность

Полосой пропуская колебательного контура, или шириной его резонансной кривой Δω называется разность частот ω₂ и ω₁, лежащих на сторонах амплитудной резонансной кривой I(ω) и соответствующих половине максимальной мощности, рассеиваемой в контуре при резонансе. Таким образом, по определению, Δω=ω₂−ω₁, где ω₁ и ω₂ – частóты, для которых рассеиваемая в контуре мощность

Р(ω₁)=Р(ω₂)= Р(ω₀).

Эти частоты называются граничными. А поскольку рассеиваемая мощность Р~I², то граничные частоты ω₁ и ω₂ на кривой I(ω) определяются условием (рис. 5):

I (ω₁)=I(ω₂)= .

Вычислим из этого условия ширину резонансной кривой Δω. Так как

, ,

то уравнение для определения граничных частот будет иметь вид:

, или

. Отсюда

ω_1,2= .

Следовательно, ширина кривой

Δω=ω₂−ω₁= .

Одним из важнейших параметров любой колебательной системы является её добротность Q. Существует несколько примерно эквивалентных определений добротности. Примем то из них, которое в наибольшей степени служит и практическим методом её измерения в настоящей работе: добротностью Q колебательной системы называется отношение резонансной частоты этой системы к ширине её резонансной кривой. Так как для последовательного контура ω_рез=ω₀= , а Δω= , то для него

Q= . (10)

Формула (10) позволяет графически определить добротность контура по ширине его резонансной кривой I(ω) на уровне примерно 0,7 от I_max.

Из выражения (9) легко показать, что крутизна фазовой кривой φ(ω) (рис. 4,б) при резонансе

. (11)

Из (10) и (11) следует. что чем больше добротность контура Q, тем ỷже его амплитудная резонансная кривая I(ω) и тем круче фазовая φ(ω).

1.5. Резонанс

Как отмечалось, резонанс – это процесс, происходящий в контуре, когда ток в нём i(t) и напряжение на контуре и(t) синфазны. Из изложенного выше следует, что резонанс в последовательном контуре характеризуется следующими особенностями:

1. Резонансная частота совпадает с собственной: ω_рез=ω₀.

2. При постоянной амплитуде U приложенного напряжения амплитуда тока становится максимальной: I(ω₀)=I_max=U/R.

3. Полное сопротивление контура минимально: Z(ω₀)=Z_min=R.

4. Напряжения на конденсаторе и_С(t) и на индуктивности и_L(t) равны по амплитуде и противоположны по фазе. Действительно, при ω=ω₀ на векторной диаграмме (рис. 6) длủны противоположно направленных векторов (амплитуд напряжений на индуктивности и ёмкости)

,

.

Видно, что если добротность контура Q≫1 (а практически так обычно и бывает: Q~10…100), то U_L=U_C=QU≫U, т.е. напряжения на индуктивности и ёмкости становятся значительно больше приложенного к контуру напряжения U. В связи с этим, резонанс в последовательном контуре называется резонансом напряжений.