Вынужденые колебания

Цель работы – снятие амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик последовательного колебательного контура и определение параметров контура по его резонансным кривым.

1. Теоретические соотношения

1.1. Уравнение процесса в последовательном контуре

П оследовательный колебательный контур представляет собою цепь трёх последовательно соединённых элементов R, L и С (рис. 1), т.е. активного сопротивления (резистора), катушки индуктивности и конденсатора. Элемент R обычно включает в себя и активное сопротивление проводов катушки.

Если к последовательному контуру приложить синусоидальное напряжение

и=U , (1)

то, в соответствии с правилом сложения мгновенных напряжений на последовательно соединённых элементах, можно записать:

,

или

,

где q – мгновенное значение заряда на конденсаторе, i – мгновенное значение тока в контуре. Дифференцируя это уравнение по t и учитывая, что dq/dt=i, получаем дифференциальное уравнение второго порядка относительно тока:

, (2)

где величина называется собственной частотой контура, а величина − коэффициентом затухания.

Замечание 1. Частота внешнего напряжения ω не имеет никакого отношения к собственной частоте контура: ω₀ – это фиксированное для данного контура число, а ω – частота задающего генератора, которую можно произвольно менять.

Замечание 2. ω – это угловая частота, измеряемая в рад/с, её удобно использовать в различных соотношениях теории колебаний. Шкảлы же всех генераторов проградуированы в герцах: f Гц – это f колебаний в секунду, а ω=2πf. К чему относится термин «частота» − к f или к ω, обычно видно из текста.

Общее решение неоднородного уравнения (2) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения, не зависящего от начальных условий:

i(t)=i_{общ.однор.}(t)+i_частн.(t). (3)

При ω₀>β общее решение однородного уравнения

имеет вид:

i_{общ.однор.}= ,

где ω_св= − частота свободных затухающих колебаний в контуре, А и В – коэффициенты, определяемые начальными условиями. Видно, что спустя достаточно большое время после начала колебаний, а именно при

t≫τ= (4)

п ервое слагаемое в (3) становится пренебрежимо малым и остаётся только второе, описывающее установившийся вынужденный процесс, не зависящий от начальных условий:

i(t)=i_частн.(t). (5)

Процесс, протекающий в контуре с момента подачи на него напряжения и до установления в нём колебаний с постоянной амплитудой, называется переходным (рис. 2). Длительность переходного процесса в контуре зависит от величин R и L. Если, например, R=2 Ом, L=1 мГн, то, согласно (4), переходный процесс в таком контуре практически прекратится через время Δt≫ 1 мс, т.е. через Δt~0,01 с. Если частота колебаний равна, например, 10 кГц, то за это время успевает произойти около ста колебаний.

В настоящей работе исследуется только установившийся процесс в последовательном колебательном контуре.

1.2. Установившееся решение

Если приложенное к контуру напряжение является синусоидальным, т.е. имеет вид (1), то частное (установившееся) решение уравнения (2) будет также синусоидальным:

, (6)

где ω – частота приложенного напряжения (она задаётся генератором), I и φ – амплитуда тока и его фазовый сдвиг относительно напряжения (они подлежат определению). Напряжения на всех элементах контура также будут синусоидальными с частотой задающего генератора.

Неизвестные величины I и φ в (6) можно определить, например, путём подстановки (6) в (2) и приравнивания амплитуд и фаз синусоидальных величин левой и правой частей уравнения (2). Однако этот путь очень громоздкий. Для их определения рациональнее воспользоваться методом векторных диаграмм, когда токи и напряжения изображаются радиальными векторами, длины которых пропорциональны амплитудам, а угол поворота относительно друг друга равен фазовому сдвигу между соответствующими синусоидальными величинами.

В екторная диаграмма напряжений на элементах последовательного контура при ω>ω₀ изображена на рис. 3. Амплитуда U приложенного к контуру напряжения строится как векторная сумма векторов U_R, U_L и U_C. Угол φ – это искомая разность фаз между напряжением U и общим для всех элементов током I, а точнее – угол, на который ток i(t) отстаёт по фазе от напряжения и(t) на контуре (формула (6)). Как алгебраическая величина, этот угол отставания φ, конечно же, может быть и отрицательным.

Из рис. 3 видно, что

или

, (7)

где величина

называется полным сопротивлением последовательного контура. Соотношение (7) называется законом Ома для участка цепи синусоидального тока. В нём величины U и I – это амплитудные, а не мгновенные значения напряжения и тока.

Таким образом, векторная диаграмма даёт нам искомую амплитуду тока в контуре:

. (8)

Из этой же диаграммы получаем и фазовый сдвиг между током и приложенным напряжением:

. (9)

Эти величины и подлежат подстановке в частное решение (6).