1.4. Фигуры Лиссажу

Особый интерес представляет траектория точки на экране при сложении двух её взаимно перпендикулярных колебаний с кратными частотами:

, (12)

, (13)

Рассмотрим подробнее вариант п=2 и φ=π/2, поддающийся простому аналитическому решению. В этом случае (12) и (13) принимают вид:

, (14)

. (15)

А так как , то уравнением траектории точки будет парабола (рис. 5):

.

Если кратность частот чуть-чуть нарушена, что соответствует медленному изменению φ в (13):

,

г де φ₁(t)=Δωt+φ – медленно меняющаяся фаза, то картина на экране будет как бы переливаться по прямоугольнику (2Y×2Х), превращаясь из параболы в горизонтальную «восьмёрку», затем вновь в параболу, но уже ветвями вверх, и т.д. Эволюция параметрической кривой (14)-(15) на экране при малом несовпадении кратности частот показана на рис. 6, а-д.

Кривые, изображённые на рис. 6, называются фигурами Лиссажу.

К фигурам Лиссажу относится и множество других столь же изящных замкнутых кривых, получающихся при сложении двух взаимно перпендикулярных синусоидальных колебаний с кратными частотами: ω_у=3ω_х, ω_у=4ω_х и т.д. Степень кратности отражается числом касаний фигуры с горизонтальной стенкой прямоугольника 2Y×2Х. Если же ω_х=пω_у (п=2,3, …), то фигура будет иметь п касаний с вертикальной стенкой и лишь одно с горизонтальной. На рис. 7 показана фигура Лиссажу, описываемая параметрической системой

,

.

У этой фигуры три касания с горизонтальной стенкой прямоугольника и два с вертикальной. Это означает, что за время двух колебаний по оси х точка делает три колебания по оси у.

1.5. Определение скорости звука в воздухе

методом сложения колебаний от источника и приёмника

Процесс распространения синусоидальной волны вдоль оси z в упругой среде описывается функцией

, (16)

г де А – амплитуда волны, ω – угловая частота, υ – скорость волны, − смещение частиц среды от равновесия в момент t в сечении z. Т=2π/ω – это период колебаний частиц в волне, f=1/Т=ω/(2π) – частота в герцах. Выражение ω(t−z/υ) под синусом в (16) называется фазой волны. Расстояние λ=υТ, которое волна (т.е. какая-либо фаза волны) пробегает за период Т, называется длиной волны. Так как ω/υ=2π/λ, то волновую функцию (16) удобно записывать в виде

. (17)

На рис. 8 изображён мгновенный профиль синусоидальной волны, которая бежит вправо со скоростью υ.

Если колебания s(z,t) частиц в бегущей волне происходят вдоль направления её распространения, то волна называется продольной, а если поперёк, то поперечной. В газах и внутри жидкостей могут распространяться только продольные волны, а в твёрдых телах – и продольные, и поперечные, причём их скорости различны.

Частотный диапазон слышимости упругих волн ухом человека составляет примерно от 20 Гц до 20 кГц (звуковой диапазон). Чем больше частота, тем выше тон звука. Амплитуда волны определяет громкость звука. Скорость звука в воздухе во всём звуковом диапазоне не зависит от частоты, т.е. дисперсии звука в воздухе нет.

И дея определения скорости звука в воздухе методом сложения колебаний от источника и приёмника заключается в следующем. На рис. 9 показана установка, состоящая из звукового генератора (Г3-109), громкоговорителя (Гр) и микрофона (М), помещённых на одной линейке, и осциллографа (С1-65). Сигнал (8) звуковой частоты с генератора поступает на громкоговоритель и на вход Х осциллографа, а сигнал (9) с микрофона – на вход Y с необходимым усилением. Так как частóты сигналов одинаковы, на экране осциллографа должен наблюдаться эллипс (10). Разность фаз сигналов на входах Х и Y

φ=Ф(t, 0)−Ф(t, z)= (18)

определяется задержкой, связанной с прохождением волной расстояния z от громкоговорителя к микрофону. Двигая микрофон по линейке, расстояние z можно подобрать таким, на котором эллипс на экране вырождается в отрезок прямой у=kх или у=−kx, где k=Y/X. Если после этого микрофон смещать вправо, то при некотором смещении Δz эллипс вновь выродится в такой же отрезок прямой. Как видно из (18), это Δz и будет равно длине волны λ, так как при таком смещении фаза меняется на 2π:

φ(z+λ)−φ(z)=2π.

Замечание. При смещении микрофона на Δz=λ/2 фаза меняется на π и отрезок на экране будет наклонён в другую сторону.

Определив таким образом λ, по известной частоте генератора f находим скорость звука

υ=λ/Т=λf. (19)