1.3. Телеграфные уравнения
Для длинной линии в целом пользоваться уравнениями Ома и Кирхгофа нельзя, поскольку для неё не выполнено условие (2). Однако их можно применить для любого малого её участка, так как по отношению к поперечному размеру линии это условие выполнено.
Пусть в однородной длинной линии возбуждаются электрические колебания. Поскольку условие квазистационарности для неё не выполнено, то напряжение между проводами и ток в них будут являться непрерывными функциями времени t и координаты х вдоль линии: и=и(x, t), i=i(x, t); причём ток, текущий по одному из проводов, равен и противоположно направлен току, текущему напротив него вдоль другого провода.
Р
азобъём
линию на малые участки длиной dx.
На каждом таком участке активное
сопротивление равно R0dx,
индуктивность – L0dx,
ёмкость – C0dx,
проводимость утечки – G0dx
(рис. 3). Пусть i(x,t)
и и(x,t)
– ток в проводах и напряжение между
ними в начале участка dx,
а i(x+dx,t)
и и(x+dx,t)
– в конце. Запишем второе уравнение
Кирхгофа для контура ABCD,
обходя его по часовой стрелке:
,
или
.
Деля это уравнение на dx и учитывая, что
,
получаем
.
(4а)
Запишем теперь первое уравнение Кирхгофа для узла В:
,
где
.
Таким образом,
.
Точно так же, деля это уравнение на dx, получаем
.
(4б)
Уравнения (4а) и (4б) являются основными для линии с распределёнными параметрами и называются телеграфными уравнениями.
Далее везде будем предполагать, что линия является однородной и потери в ней отсутствуют, т.е. R0=0, G0=0, а L0 и С0 – постоянны. Тогда телеграфные уравнения (4а) и (4б) примут вид:
,
(5а)
.
(5б)
Покажем, что
уравнения (5а) и (5б) описывают волновой
процесс в линии. Для этого продифференцируем
(5а) по х,
а (5б) по t
и, подставив затем
из второго уравнения в первое, получим
,
(6)
где
υ=
.
(7)
Уравнение (6) называется волновым. Его общее решение имеет вид
,
(8)
где f1 и f2 – произвольные дважды дифференцируемые функции, первая из которых описывает процесс распространения волн напряжения вправо (по оси х) со скоростью υ и называется прямой (падающей) волной а вторая – влево (против оси х) и называется обратной (отражённой) волной. Конкретный вид функций f1 и f2 определяется формой возбуждающего сигнала.
Из (5а) и (5б) аналогично легко получить такое же волновое уравнение для тока:
,
общим решением которого также является функция вида
,
описывающая волны тока вправо и влево по линии со скоростью υ.
1.4. Решение телеграфных уравнений для линии без потерь
при установившемся синусоидальном процессе
Пусть выходное напряжение генератора является синусоидальным с частотой ω. При подключении к нему линии в ней начнётся переходный процесс, длительность которого зависит от длины линии и потерь в ней. Реально он заканчивается за время порядка 10−6 с, и в линии устанавливается стационарный волновой режим, который и будем рассматривать в дальнейшем. При этом режиме напряжение и ток в каждом сечении линии будут меняться по синусоидальному закону с частотой генератора ω, а их амплитуды и фазы зависеть от координаты х. В связи с этим, решение телеграфных уравнений (5а) и (5б) удобно искать в комплексном виде:
u(x,t)→
(х)
,
i(x,t)→
(х)
,
(9)
где
(х)=
− комплексная амплитуда (комплекс)
напряжения,
(х)=
− комплексная амплитуда (комплекс)
тока,
U(x) и I(x) – действительные амплитуды напряжения и тока,
φ(х) и ψ(х) – начальные фазы напряжения и тока.
Комплексная запись решения (9) используется для удобства вычислений. Она даёт возможность перейти от уравнений в частных производных (5а) и (5б) к обыкновенным дифференциальным уравнениям относительно комплексов и . А чтобы вернуться к обычной (временнóй) форме записи мгновенных значений, надо после определения неизвестных величин (х) и (х) взять их реальные или мнимые части, например,
и(x,t)=Im
Im
.
Итак, подставим искомые функции вида (9) в уравнения (5а) и (5б). Получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для комплексов (х) и (х):
Подставляя теперь из (10а) в (10б), получим одно уравнение второго порядка для комплекса :
,
(11)
где
.
(12)
Общее решение уравнения (11) имеет вид
,
(13а)
где
и
− неопределённые пока комплексные
коэффициенты.
Чтобы найти , теперь достаточно подставить выражение из (13а) в (10а); с учётом (12) это даёт:
=
.
(13б)
Первые слагаемые в (13а) и (13б) – это комплексные амплитуды напряжения и тока прямой волны, а вторые – обратной. Действительно, например, первое слагаемое (13а) соответствует волне
,
(14)
где Uпр
– амплитуда прямой волны. Здесь Uпр
и есть тот конкретный вид функции
из (8), представляющей прямую волну общего
вида.
Важнейшим параметром линии является её волновое сопротивление.
Определение. Отношение комплексных амплитуд напряжения и тока в прямой (или в обратной) волне называется волновым сопротивлением линии (ρ). Таким образом, из (13а) и (13б), по определению, имеем:
ρ=
[Ом]. (15)
Коэффициенты и в (13а) и (13б) определяются из граничных условий, а именно – по измеряемым току и напряжению на нагрузке в конце линии. Пусть в конце линии, в сечении х=l установлена нагрузка, имеющая комплексное сопротивление Zн, а напряжение и ток на ней равны
и
(рис. 4). Тогда для х=l
уравнения
(13а) и (13б) примут вид:
Складывая и вычитая эти уравнения, получаем:
(16)
Теперь (13а) и (13б) с подстановкой в них (16) принимают вид:
Из этих уравнений видно, что координату удобнее отсчитывать от нагрузки влево, т.е. положить у=l−х, как показано на рис. 4. И тогда, учитывая, что
окончательно получаем для комплексных амплитуд напряжения и тока в линии:
(17)
Комплексные амплитуды и определяются мощностью генератора. Кроме того, они связаны законом Ома: =Zн .