8. Преобразование Лапласа и его свойства.

Преобразование Лапласа — интегр. преобразование, связывающее функцию компл. переменного (изображение) с функцией вещ. переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются диф. и интегр. уравнения.

Одна из особенностей преобразования Лапласа: многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями (свёртка двух функций сводится к операции умножения, лин. диф. уравнения становятся алгебраическими).

При использовании преобразования Лапласа некоторой функции времени x(t) ставится в однозначное соответствие функция X(s), где s- оператор Лапласа. Функция времени x(t) - оригинал, а функция X(s) - изображение. Изображение и оригинал связаны соотношением:

Теоремы (свойства) преобразования Лапласа:

1. Теорема линейности. Для любых действительных или комплексных

Знак Þ означает соответствие изображения оригиналу.

2. Теорема запаздывания. Для любого постоянного t > 0

3. Теорема дифференцирования оригинала:

Если то

Словами: Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа:

Применив эту теорему к производным высших порядков, получим

При нулевых нач. условиях выражение упрощается:

4. Теорема интегрирования оригинала:

Если и то

Словами: Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала, делённое на свой аргумент.

5.Теорема о начальном значении оригинала:

6. Теорема о конечном значении оригинала:

Связь оператора Лапласа с передат. функцией:

Пусть система или какое-либо звено ее описываются диф.уравнением вида:

Полагая начальные условия нулевыми, перейдем в этом уравнении к изображениям по Лапласу. В соответствии с теоремой 3 получим

.

Вынесем в полученном выражении за скобки изображения переменной и входного воздействия и сделаем обозначения

С учетом этих обозначений исходное дифференциальное уравнение в изображениях по Лапласу получит вид

Определим теперь зависимость выходной величины от входного воздействия

Передаточной функцией системы (звена) W(s) называется отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению по Лапласу входной величины при нулевых начальных условиях.

Кратко: преобразование Лапласа – это интегральное преобразование, при помощи которого мы в ТАУ упрощаем сложные диф.уравнения. Было еще у нас в матане: исходная функция – оригинал, получаемая – изображение. Есть таблица с типичными фунциями для облегчения преобразований. Зависимость «изображение-оригинал»: .

В ТАУ используется в основном в определении передаточной функции, то самое p или s в формулах – это оператор преобразования Лапласа. Передаточная функция получается как раз после преобразования исх. диф.уравнения в его изображения, ну и после некоторого его преобразования.

У преобразования есть всякие теоремы (свойства), ну как дифференцировать, интегрировать и прочее…