27) Непрерывные случайные величины. Особенности функции распределения непрерывной случайной величины, примеры.

Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распределения является непрерывной в любой точке функцией, а также дифференцируемой всюду, за исключением конечного числа точек.

Теорема.

Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю, т.е. P(X=x₁)=0.

Следствие. Если X – непрерывная случайная величина, то вероятность попадания случайной величины в интервал (x₁ , x₂) не зависит от того, является этот интервал открытым или закрытым.

28) Плотность вероятности как производная функции распределения

Рассмотрим вероятность попадания случайной величины на отрезок [x, x+△x]. По формуле P(x₁≤X<x₂)= F(x₂)-F(x₁) эта вероятность равна P(x≤X≤x+△x)=F(x+△x)-F(x), т.е. приращению функции распределения на этом участке. Тогда вероятность, приходящаяся на единицу длины этого участка, по-другому средняя плотность вероятности на участке [x, x+△x] равна

Переходя к пределу при △x⟶0, получим

ОПР. Плотностью вероятности (или плотностью распределения вероятности) f(x) непрерывной случайной величины X называется производная ее функции распределения, т.е. f(x)=F ^/ (x).

Про случайную величину в этом случае говорят, что она распределена с плотностью f(x), а саму плотность вероятности иногда называют дифференциальным законом распределения случайной величины. График плотности вероятности называется кривой распределения.

Основные свойства плотности вероятности

Теорема.

• Если X – непрерывная случайная величина, а f(x) – ее плотность вероятности, то для нее справедливы следующие свойства:

• 1. f(x)≥0, т.е. плотность вероятности неотрицательная функция;

• 2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [a, b] равен определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от a до b, т.е.

• 3.Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражена через плотность вероятности по формуле:

• 4. Несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности непрерывной случайной величины равен 1, т.е.

29) Математическое ожидание дискретной и непрерывной случайной величин.

ОПР. Математическим ожиданием или средним значением дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных ее значений на вероятности этих значений, т.е. М[Х]=x₁p₁+x₂p₂+…+x_np_n+….

Смысл математического ожидания заключается в том, что около него колеблется среднее арифметическое значений, принимаемых случайной величиной Х в больших сериях опытов. Или иначе, математическое ожидание есть среднее взвешенное значение случайной величины Х, в которое абсцисса каждой точки х_i входит с весом, равным соответствующей вероятности.

Замечание. Чаще всего на практике сумма для подсчета математического ожидания конечная, т.е. М[Х]=x₁p₁+x₂p₂+…+x_np_n. Но бывает и так, что этот ряд бесконечен, и в общем случае, его сумма может быть бесконечной или не существовать вовсе. Тогда считают, что у случайной величины не существует математического ожидания.

О ПР. 6.2. Если Х – непрерывная случайная величина, имеющая плотность вероятности f(x), то ее математическим ожиданием называется

М[X]= .

Смысл математического ожидания для непрерывной случайной величины тот же: это центр массы для единичной массы, распределенной непрерывно на оси абсцисс с плотностью f(x).