43) Точечные оценки параметров распределения.

Оценкой Ѳ параметра τ называют всякую функцию результатов наблюдения за случайной величиной X, с помощью которой судят о значении параметра τ.

1. Желательно, чтобы, пользуясь оценкой Ѳ вместо τ, не случалось ошибок ни сторону завышения, ни сторону занижения, т.е. чтобы выполнялось M[Ѳ]=τ.

Оценка, удовлетворяющая условию M[Ѳ]=τ, называется несмещенной.

2. Желательно, чтобы с увеличением числа проводимых опытов значения Ѳ концентрировались вокруг τ все более тесно, т.е. чтобы D[Ѳ]→0 при n→∞.

Оценка, удовлетворяющая условию D[Ѳ]→0 при n→∞, называется состоятельной.

44) Интервальные оценки параметров распределения.

Построим такой доверительный интервал с доверительной вероятностью α для нормального распределения с параметрами m=M(X) (математическое ожидание величины X) и σ (среднее квадратичное отклонение).

Отыскание такого интервала разбивается на два случая: а) когда σ известно; б) когда σ неизвестно.

а) Пусть σ известно. Тогда для математического ожидания m доверительным интервалом, отвечающим доверительной вероятности α будет интервал

Здесь – эмпирическое среднее, σ – среднее квадратичное отклонение, – значение, которое находят, решая уравнение .

Φ(t) – функция Лапласа, для которой имеются табличные значения.

б) Пусть теперь σ неизвестно. Тогда для математического ожидания m доверительным интервалом, отвечающим доверительной вероятности α будет интервал - .

Здесь – средняя арифметическая, – квадратный корень из несмещенной эмпирической дисперсии, – значение, которое находят, решая уравнение

Здесь Sn-1(t) – функция Стьюдента, для которой также имеются табличные значения.

45) Статистические гипотезы и критерии.

Статистической гипотезой (или просто гипотезой) называют любое утверждение о виде или свойствах распределения наблюдаемых в эксперименте случайных величин. Обозначается гипотеза буквой Н.

Если для исследуемого явления процесса, ситуации и т.д., сформулирована та или иная гипотеза обычно ее называю основной или нулевой гипотезой и обозначают символом Н0. К высказанной основной гипотезе можно сформулировать конкурирующую (альтернативную) противоречащую ей. Конкурирующую (альтернативную) обозначают Н1

Различают три вида критериев:

1. Параметрические критерии - критерий значимости, которые служат для проверки гипотез о параметрах распределения генеральной совокупности.

2. Критерии согласия позволяют проверять гипотезы о соответствии распределении генеральной совокупности известной теоретической модели.

3. Непараметрические критерии используются в гипотезах, когда не требуется знаний о конкретном виде распределений.

46) Критерий Пирсона .

Для этого рассмотрим дискретную случайную величину X, которая принимает значения α1, α2 … αk. Пусть произведено n независимых опытов, в каждом из которых X приняла определенное значение. На основе этих опытов составлен эмпирический (или говорят еще статистический) ряд распределений и составлена таблица частот.

Далее выдвигается гипотеза, состоящая в том, что случайная величина X имеет некий закон распределения с гипотетической таблицей частот .

При использовании этого критерия число степеней свободы подсчитывается так: k (число значений случайной величины) минус количество независимых условий. Независимыми условиями являются:

1. равенство суммы эмпирических частот единице;

2. совпадение средней арифметической статистического ряда с математическим ожиданием гипотетического ряда;

3. совпадение дисперсий эмпирического ряда и гипотетического.

Для распределения χ2 Пирсона составлены таблицы значений, по которым по значениям χ2 и r можно найти вероятность р. Если эта вероятность меньше заданного уровня значимости α, то это значит, что опытные данные противоречат выдвинутой гипотезе H о том, что случайная величина имеет определенный закон распределения. Если же вероятность получится больше уровня значимости, то гипотезу можно считать правдоподобной.

Опуская доказательство, осуществленное Пирсоном, привожу алгоритм, с помощью которого находят вероятность p, позволяющую судить, насколько правдоподобна выдвинутая гипотеза.

• Сначала вычисляется количество степеней свободы r.

• а) Если выполняется , то это считается независимым условием;

• б) Если выполняется , т.е. эмпирическое среднее совпадает с гипотетическим, то это является независимым условием;

• в) Если выполняется , т.е. эмпирическая дисперсия совпадает с гипотетической, то это является независимым условием.