23. Трудоемкость алгоритмов: наилучший случай, наихудший случай, трудоемкость в

среднем, усредненная оценка трудоемкости группы операций.

Для получения функции трудоемкости алгоритма, представленного в формальной системе введенной абстрактной машины необходимо уточнить понятия «элементарных» операций, соотнесенных с языком высокого уровня.

В качестве таких «элементарных» операций предлагается использовать следующие:

1) Простое присваивание: а b;

2) Одномерная индексация a[i] : (адрес (a)+i*длинна элемента);

3) Арифметические операции: (*, /, -, +);

4) Операции сравнения: a < b;

5) Логические операции (l1) {or, and, not} (l2);

Опираясь на идеи структурного программирования, исключим команду перехода по адресу, считая ее связанной с операцией сравнения в конструкции ветвления. После введения элементарных операций анализ трудоемкости основных алгоритмических конструкций в общем виде сводится к следующим положениям:

А) Конструкция «Следование»

Трудоемкость конструкции есть сумма трудоемкостей блоков, следующих друг за другом.

F _{«следование»} = f₁ + … + f_k,

где k - количество блоков.

B) Конструкция «Ветвление»

if ( l ) then

f_then с вероятностью p

else

f_else с вероятностью (1-p)

Общая трудоемкость конструкции «Ветвление» требует анализа вероятности выполнения переходов на блоки «Then» и «Else», определяется:

F _{«ветвление»} = f_then * p + f_else * (1-p).

C) Конструкция «Цикл»

После сведения конструкции к элементарным операциям ее трудоемкость определяется как:

F _«цикл» = 1+3*N+N*f_{«тела цикла»}

_{А) Худший случай. Максимальное количество переприсваиваний максимума (на каждом проходе цикла) будет в том случае, если элементы массива отсортированы по возрастанию.}

_{Б) Лучший случай. Минимальное количество переприсваивания максимума (ни одного на каждом проходе цикла) будет в том случае, если максимальный элемент расположен на первом месте в массиве.}

_{В) Средний случай. Алгоритм поиска максимума последовательно перебирает элементы массива, сравнивая текущий элемент массива с текущим значением максимума. На очередном шаге, когда просматривается к-ый элемент массива, переприсваивание максимума произойдет, если в подмассиве из первых к элементов максимальным элементом является последний. Очевидно, что в случае равномерного распределения исходных данных, вероятность того, что максимальный из к элементов расположен в определенной (последней) позиции равна 1/к. Тогда в массиве из n элементов общее количество операций переприсваивания максимума определяется как:}

_{Величина Hn называется n-ым гармоническим числом. Таким образом, точное значение (математическое ожидание) среднего количества операций присваивания в алгоритме поиска максимума в массиве из n элементов определяется величиной Hn (на бесконечности количества испытаний).}

24. Принцип «Разделяй и властвуй». Примеры решения задач с использованием данных методов и их трудоемкость.

Разделяй и властвуй в информатике — важная парадигма разработки алгоритмов, заключающаяся в рекурсивном разбиении решаемой задачи на две или более подзадачи того же типа, но меньшего размера, и комбинировании их решений для получения ответа к исходной задаче. Разбиения выполняются до тех пор, пока все подзадачи не окажутся элементарными.

Корректность работы алгоритма, следующего парадигме "разделяй и властвуй" чаще всего доказывается с помощью метода математической индукции. А время работы можно определить решив соответствующее реккурентное уравнение.

Типичный пример — алгоритм сортировки слиянием. Чтобы отсортировать массив чисел по возрастанию, он разбивается на две равные части, каждая сортируется, затем отсортированные части сливаются в одну. Эта процедура применяется к каждой из частей до тех пор, пока сортируемая часть массива содержит хотя бы два элемента (чтобы можно было её разбить на две части). Время работы этого алгоритма составляет операций, тогда как более простые алгоритмы требуют времени, где — размер исходного массива.

Другие примеры важных алгоритмов, в которых применяется парадигма «разделяй и властвуй»:

• двоичный поиск;

• метод бисекции;

• быстрая сортировка;

• быстрое преобразование Фурье;

• алгоритм Карацубы и другие эффективные алгоритмы для умножения больших чисел.