2.2. Математическая структура теории. «Исчезновение» времени.

 

В постановке проблемы квантования ОТО и космологии присутствует и математический аспект: как правильно сформулировать принцип неопределенности для гравитационного поля Вселенной. Теоретические прогнозы и количественные результаты находятся в прямой зависимости от математической формулировки этого принципа. Напомним, что принцип неопределенности формулируется для взаимно дополнительных величин. Если проводить квантование только гравитационных волн, не затрагивая макроскопический геометрический фон, то такие взаимно дополнительные величины ввести легко. Однако при расширении физической постановки задачи — для работы на околопланковских масштабах — квантованию подвергаются не только гравитационные волны, но и макрогеометрия. В этом случае требуется дополнительный анализ, который на существующем уровне знаний мы можем провести в рамках так называемого гамильтонова формализма квантовой теории. Кратко расскажем о результатах этого анализа.

Гамильтонов формализм обладает рядом специфических черт. Во-первых, в нем явно выделен особый статус времени. Отметим, что такая теоретическая схема непосредственно соответствует процессу познания: хотя мы работаем с теорией, свойства симметрии которой заданы в 4-мерном пространстве-времени, сопоставление ее с экспериментом предполагает упорядочение физических событий в одномерном времени. Таким образом, субъективно, для наблюдателя, проводящего измерения и упорядочивающего события, время выделено особо. Во-вторых, только в рамках гамильтонова формализма есть однозначная процедура введения динамических величин, удовлетворяющих квантовому соотношению неопределенностей. В классической физике существует много способов формулировки динамики, можно использовать в качестве динамических переменных широкий класс комбинаций физических величин и следить за их изменениями во времени. Выбор таких базисных величин в высокой степени произволен и определяется, главным образом, соображениями удобства математического описания. В квантовой теории ситуация качественно иная. Поскольку принцип неопределенности фиксирует невозможность одновременного измерения некоторых взаимно дополнительных физических величин, можно говорить лишь о вероятностях нахождения системы в той или иной области координатного или импульсного пространства. Гамильтонов формализм вводит и использует только те динамические величины (так называемые канонические обобщенные координаты и импульсы), для которых имеет место соотношение неопределенностей и один из наборов которых можно взять для введения понятия вероятностей событий.

Таким образом, первым шагом по пути квантовой модификации ОТО является придание теории гравитации гамильтоновой формы еще до построения квантовой теории Вселенной в целом. В процессе решения этой задачи выявляется весьма специфичная черта ОТО, предопределяющая и крайне своеобразный характер квантовой геометродинамики. Теория гравитации динамически реализует пространственно-временную симметрию, физический смысл которой состоит в возможности выбора любой системы отсчета для описания гравитационных явлений. Как уже говорилось выше, уравнения Эйнштейна сохраняют свой вид в любой системе отсчета. Добавим, что эта, так называемая ковариантность уравнений Эйнштейна, является математическим выражением физической пространственно-временной симметрии, которая имеет ряд следствий. Во-первых, уравнения Эйнштейна нельзя решить, не задавая систему отсчета. При этом решения уравнений в разных системах отсчета выглядят по-разному, поскольку они несут информацию как о физическом объекте, так и о системе отсчета, в которой этот объект изучается. Во-вторых, не все уравнения (а их всего десять) имеют одинаковый динамический статус — шесть из десяти уравнений представляют собой уравнения движения, а четыре имеют статус вполне конкретных следствий из уравнений движения и являются уравнениями связи.

В механике также есть уравнения движения — второй закон Ньютона и следствия из них – закон сохранения энергии и импульса. Но при получении следствия из уравнений мы автоматически вводим свободный параметр – полную энергию системы, которая может быть любой. Отличие теории гравитации, примененной к Вселенной в целом, состоит в том, что в ней тоже есть аналог закона сохранения энергии, как следствия уравнений движения. Это как раз и есть одно из четырех уравнений связи, дополнительных к шести динамическим уравнениям. Но, в отличие от классической механики, для Вселенной в целом нельзя задавать полную энергию произвольно.

Уже упоминалось, что уравнения Эйнштейна содержат жесткое утверждение о равенстве нулю энергии и импульса Вселенной в целом. Отличия теории Эйнштейна от механики состоят, в частности, и в том, что она предсказывает не только закон движения, но и единственно возможные значения энергии и импульса Вселенной в целом. Этот факт и является следствием симметрии, динамическая реализация которой и приводит к уравнениям Эйнштейна. Такая структура теории Эйнштейна в ее квантовом варианте приводит к специальным ограничениям на вектор состояния или, как говорят, на волновую функцию Вселенной, _В. В гамильтоновом формализме, где явно выделена роль времени, выясняется, что волновая функция _В содержит информацию о вероятностях состояний геометрии 3-мерного пространства Вселенной.

Итак, если строить квантовую теорию для Вселенной в целом по известным правилам, то у нас появляется уравнение Шредингера для волновой функции Вселенной, _В t = H_В_В. Это уравнение для Вселенной в целом, по существу, есть квантовое обобщение динамических законов, содержащихся в шести уравнениях Эйнштейна. Статус геометрии именно 3-мерного пространства, как объекта квантового описания, есть следствие использования гамильтонова формализма, в котором роль времени выделена. Математически этот статус закрепляется тем, что оператор H_В, который называется супергамильтонианом Вселенной, зависит от обобщенных координат и импульсов, описывающих геометрические свойства 3-мерного пространства. Среди этих операторов обобщенных координат и импульсов есть и операторы, соответствующие той геометрической характеристике, которую ранее, в обычной физике, мы называли макроскопическим фоном. Правда, теперь у него нет статуса макроскопического объекта, он описывается совместно с квантовыми волнами, что приводит к специфическим особенностям, обнаруживающимся при взгляде на уравнения связи — оставшиеся четыре из десяти уравнений Эйнштейна.

Одно из уравнений связи приводит к совершенно парадоксальному выводу. Уже неоднократно обсуждавшийся эффект равенства нулю полной энергии Вселенной в квантовой теории приводит к уравнению связи: Н_В_В=0. Казалось бы, что такого странного в том, что энергия всех частиц плюс энергия вакуума в сумме с энергией гравитационного поля дает нуль? Энергия гравитационного поля Вселенной, присущая глобальной геометрии Вселенной, точно компенсирует вклады в энергию всех остальных форм материи и вакуума, и этот результат есть точное следствие теории Эйнштейна, содержащихся в ней симметрий. Но если теперь посмотреть на уравнение связи Н_В_В=0, которое именно эту идею и выражает, совместно с взглядом на уравнение Шредингера, то нетрудно заметить, что волновая функция Вселенной перестает зависеть от времени (ее производная по времени обращается в нуль). Таким образом, квантовая динамика, в привычном для нас понимании, исчезает, и этот факт является следствием рассмотрения фоновой геометрии в качестве равноправного объекта квантовой теории. Обратим внимание, что время исчезло, как только мы перестали разделять Мир на классическую и квантовую подсистемы!