6.Понятие дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Вычисление дифференциала.

Дифференциал – главная часть приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменной, обозначается знаком d т.е.

Геометрический смысл: дифференциал функции геометрический изображается приращением ординаты касательной, проведенной в точке М(x;y) при данных значениях x и

дифференциал можно вычислить по формуле

7.Возрастание и убывание функции. Её наименьшее и наибольшее значение. Точки экстремума и экстремум функции.

Если производная на интервале положительна, то функция на интервале возрастает

Если производная на интервале отрицательна, то функция на интервале убывает

Точка максимума: х₀ называется точкой максимума, если для любого х из окрестности этой точки

выполняется неравенство:

Точка минимума: х₀ называется точкой минимума, если f(х₀) наименьшее значение в окрестности этой точки

Точки экстремума – это точки максимума и минимума. Ищут среди критических точек

Критические точки – внутренняя точка области определения, в которой производная равна 0, либо не существует.

Экстремум функции – это максимум и минимум функции.

8.Иследование функции на экстрему с помощью производных. Привести пример.

Алгоритм исследования:

1) находим область определения функции

2) ищем точки пересечения с осями координат

3) выясняем четность – нечетность

Четная: y(-x)=yx, график симметричен относительно ОУ.

Нечетная: у(-х)= -у(х), график симметричен относительно начала координат

4) исследуем функцию на монотонность в точке экстремума, экстрему функции.

5) находим точки перегиба и выясняем выпуклость кривой

6) находим асимптоты

7) строим график

Пример:

y=-9x+x³

1) D(y), R

2) c(ox)→ y=0;

9x+x³=0

x(x²-9)=0

x=0 или х±3

с(су) → х=0 -9*0+0³=0

(0;0), (3;0), (-3;0),

3)f(-x)=-9(-x)+(-x)³ = 9x- x³=-(-9x+ x³) следовательно, функция симметрична относительно начала координат

4) y =(-9x+x³) = -9+3x²

-9+3x²=0

3 x²=9

X=

X= - - т. Max

Х = - т. Min

y_max= y(- ) =-9(- + - = 9 -3 = 6

y_min=y ( =-9 + =-9 + 3 = -6

(- 6 - max

(- -6 – min

9. Исследование функции на монотонность. Алгоритм. Привести пример.

Признак монотонности:

1) Если производная на интервале положительна, то функция на этом интервале возрастает

2) Если производная на интервале отрицательна, то функция на этом интервале убывает

Алгоритм:

1. находим область определения функции

2. находим производную функции

3. производную приравниваем к 0, и находим критические точки

4. критические точки отмечаем на координатной прямой, учитывая обл. определения функции.

5. узнаем знак производной на каждом интервале

6. делаем вывод

пример:

y = 3x - x³

1. D(y) x R

2. y

3.

1 – x =0 или 1 + x = 0

x = 1 x = 1

1 и -1 Обл.определения и они критические точки

______________________

вывод: функция возрастает , убывает

10.Точка перегиба. Алгоритм нахождения точки перегиба. Исследование функции и построение графика.

Точка перегиба – точка на кривой, где меняется направление выпуклости

Алгоритм:

1. находим 2-ую производную

2. приравниваем ее к 0 и решаем уравнение y

3. отмечаем решение на прямой и узнаем знак второй производной на каждом интервале.

Если смена равна производной, то х = с – абсцисса точки перегиба

Чтобы найти ординату для точек надо подставить ее в функцию

Правило:

Если 2-ая производная на интервале положительна, то функция выпукла вверх

Если 2-ая производная на интервале отрицательна, то функция выпукла вниз

(начало 8 билет)

y

6х=0

х=0

х=0 – абсцисса точки перегиба

у(0)=-9*0+0 => (0;0) – точка перегиба