2. Обратная матрица.
Матрица
называется обратной
по отношению к квадратной матрице
,
если при умножении этой матрицы на
данную как справа, так и слева получается
единичная матрица:
.
Не
каждая квадратная матрица имеет обратную.
Для существования матрицы
необходимым и достаточным условием
существования является требование
.
Если
определитель матрицы отличен от нуля
,
то такая квадратная матрица называется
невырожденной, в противном случае (при
)
– вырожденной.
Алгоритм нахождения вычисления обратной матрицы.
1. Вычислить определитель исходной матрицы. Если , то матрица – вырожденная, и обратная матрица не существует. Если , то матрица – невырожденная, и обратная матрица существует.
2. Найти
матрицу
,
транспонированную к матрице
.
3. Найти
алгебраические дополнения элементов
транспонированной матрицы
(
,
).
4. Из
полученных алгебраических дополнений
составить присоединенную матрицу
.
5. Вычислить
обратную матрицу по формуле:
.
6. Проверить правильность вычисления обратной матрицы , исходя из ее определения: .
Пример
2.1. Найти обратную матрицу к матрице
.
Решение.
Найдем определитель исходной матрицы
:
.
Так как
,
то матрица
– невырожденная и обратная матрица
существует. Транспонированная матрица
к матрице
имеет вид
.
Найдем
алгебраические дополнения элементов
транспонированной матрицы:
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Из
полученных алгебраических дополнений
составим присоединенную матрицу
:
.
Вычислим обратную матрицу:
.
3. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.
Рассмотрим
систему трех уравнений первой степени
с тремя неизвестными
,
,
:
.
Решением
данной системы называется такая
совокупность чисел
,
,
,
при подстановке которых каждое уравнение
системы обращается в верное равенство.
Для исследования вопроса о нахождении решения данной системы необходимо предварительно вычислить следующие четыре определителя:
, 
, 
, 
.
Определитель
называется определителем системы.
Вспомогательные определители
,
,
получаются из определителя системы
заменой свободными членами элементов
соответственно первого, второго и
третьего столбцов.
При решении системы возможны три различные ситуации.
1. Если
определитель
системы отличен от нуля
,
то система линейных уравнений имеет
единственное решение, определяемое по
формулам Крамера:
, 
, 
.
2. Если
определитель системы равен нулю
и хотя бы один из определителей
,
,
отличен от нуля, то система решений не
имеет, т.е. несовместна.
3. Если
,
то система линейных уравнений
неопределенная и имеет бесконечное
множество решений.
Пример
3.1. Решить
систему уравнений
.
Решение.
Найдем определитель системы
.
Так как
,
то система линейных уравнений имеет
единственное решение.
Вычислим
определители матриц
,
,
,
полученных из определителя системы
заменой соответственно первого, второго
и третьего столбцов свободных членов:
,
,
.
По
формулам Крамера находим единственное
решение системы линейных уравнений:
,
,
.