3.6.6. Проверка гипотезы о чисто случайном характере остатков

Здесь может быть два случая:

Случай а): База данных упорядочена по времени: вектор – строки (или кортежи ) расположены в порядке возрастания времени, т.е. образует многомерный временной ряд.

t_i=t₁,t₂,…..t_n; t_n>t_i-1 , _i=

В этом случае можно применить для оценки чисто случайного характера остатков е два критерия:

• поворотных точек, либо критерий Фостера- Стьюарта (отсутствие тренда в остатках).

• Критерий Дарбина – Уотсона (отсутствие автокорреляции в остатках)

1) При проверке гипотезы об отсутствии временного тренда в остатках по критерию поворотных точек проверяется нуль гипотеза:

(3.27)

Если неравенство истинно, т.е. экспериментальное число поворотных точек p, определяемое по графику, меньше теоретического, то означает что имеется тренд в остатках и остатки не являются чисто случайными.

Если неравенство нарушено, то тренда в остатках нет, и их можно считать случайными, как не содержащие тренда.

Если нуль-гипотеза Н₀ выполняется, то временного тренда нет.

2. Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках по критерию Дарбина-Уотсона

Автокорреляция – это корреляция между членами одного временного ряда.

Здесь можно испльзовать d – статистику Дарбина-Уотсона:

(3.28)

Смысл этого критерия: чем меньше разность суммируемых членов, тем сильнее проявления «последействия», т.е. влияния предыдущего остатка на последующий и тем вероятнее наличие автокорреляции остатков.

Замечание:

1. Если d>2, то перед входом в таблицу теоретических значений d-критерия надо сделать преобразование переменных:

dd^ = 4-d

Выводы:

• Автокорреляция имеет место, остатки не являются чисто случайными, нарушена адекватность модели, если d < d_таб.min.

• Ничего сказать об автокорреляции енльзя, нужно использовать другие критерии, если d  d_таб.min; d_таб.max.

• Автокорреляция отсутствует, нарушений адекватности нет, если

d > d_таб.max.

При не определенной ситуации применяются другие критерии. В частности, можно использовать первый коэффициент автокорреляции, т.е. коэффициент линейной парной корреляции между соседними членами временного ряда е_t, е_t-1:

(3.29)

(3.30)

Случай б): База данных не упорядочена во времени (например, при социологических опросах, данные по разным странам т.д.)

В этих случаях упомянутые выше критерии поворотных точек, Фостера- Стьюарта, Дарбина- Уотсона в принципе неприменимы. Вместо них проверяется тест на отсутствие гетероскедастичности, т.е. корреляции между регрессорами и остатками .

Тест Уайта: строится линейное уравнение регрессии для квадратов остатков:

(3.31)

Гипотеза о статистической значимости линейного уравнения регрессии для квадратов остатков в целом проверяется по критерию Фишера-Стьюдента, точно так же как и для основного уравнения регрессии.

(3.32)

(3.33)

Вывод:

Если нуль-гипотеза для критерия Фишера выполняется, то гетероскедастичности нет

Если неравенство не выполняется, то это означает что гетероскедастичность есть.