1.3. Дифференциальные операции.

КЛАССИФИКАЦИЯ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ

Решение типовых задач

1. Доказать:

1) для любого поля ;

2)

3)

Решение.

1. Пусть

По определению имеем

2. Пусть . По определению имеем

3)

2. Показать, что поле является потенциальным, но не соленоидальным. Найти потенциал данного поля.

Решение. Поле называется потенциальным или безвихревым, если . Поле называется соленоидальным, если

Находим

т. е. поле – потенциальное.

Далее имеем

поэтому поле не является соленоидальным.

В потенциальном векторном поле криволинейный интеграл второго рода не зависит от пути интегрирования и справедлива формула

Потенциал векторного поля определяется формулой

z 0 y A B x

где – фиксированная, – произвольная текущая точки. Выберем начало координат за фиксированную точку, а в качестве пути интегрирования ломанную , тогда

На отрезке ОА имеем:

на АВ: на ВМ: .

Тогда

Потенциал

3. Доказать, что функция , где является гармонической, и векторное поле – гармоническое.

Решение. Функция удовлетворяющая уравнению Лапласа , называется гармонической. Поле называется гармоническим, если оно потенциальное и соленоидальное.

Проверим, справедливо ли для данной функции уравнение Лапласа.

Находим

Следовательно, данная функция – гармоническая.

Далее находим

Так как (см. задачу 1.2), то одно из условий в определении гармонического поля выполнено. Другое условие также выполняется, поскольку

(см. задачу 1.3).

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти , если

а)

б)

2. Найти если

а)

б)

3. Установить потенциальность поля и найти его потенциал если

а)

б)

в)

4. Проверить, является ли гармонической функция , .

5. Выяснить, является ли векторное поле гармоническим

а)

б)

Ответы

1. а) б)

2. а) б)

3. а) б) в)

4. да. 5. а) нет; б) да.

Тема 2. Уравнение колебаний

2.1. Задача коши для одномерного

ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ. ФОРМУЛА ДЕЛАМБЕРА

Рассмотрим задачу Коши для уравнения колебаний бесконечной струны: требуется найти решение уравнения

удовлетворяющее начальным условиям

Решение задачи Коши определяет формула Деламбера (см. [1], 2.2)

Решение типовых задач

1. Найти решение уравнения , если

Решение. Здесь Отсюда

или

2. Найти форму струны, определяемой уравнением в момент времени если в начальный момент заданы условия:

Решение. Подставим исходные данные в формулу Деламбера:

При решение примет вид: