Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Омский государственный технический университет»

ПРАКТИКУМ

ПО УРАВНЕНИЯМ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Уравнения колебаний и диффузии

Методические указания

Омск –2005

Составители: Г. А. Троценко, О. Г. Жукова, М. В. Мендзив

Практикум предназначен для методического обеспечения практических занятий по новому годовому курсу “Уравнения математической физики” для студентов специальности 071100 “Динамика и прочность машин”. Содержит решения типовых задач, набор задач для самостоятельного решения с ответами.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Омского государственного технического университета.

Редактор С.Г.Восканян

Сводный темплан 2005 г.

ИД 06039 от 12.10.01

Подписано в печать Бумага офсетная. Формат 60х84 1/16.

Отпечатано на дупликаторе. Усл. печ. л. Уч.-изд. л.

Т ираж 100 экз. Заказ

Издательство ОмГТУ. 644050, г. Омск, пр-т Мира, 11

Типография ОмГТУ

Тема 1. Векторный анализ

1.1. Поток векторного поля.

Формула Гаусса – Остроградского

Решение типовых задач

1. Найти поток векторного поля через сторону треугольника вырезанного из плоскости координатными плоскостями в том направлении нормали к плоскости, которая образует с осью острый угол.

Решение. Пусть задано векторное поле

(1.1)

Потоком поля через поверхность в сторону, определяемую единичным вектором нормали к поверхности , называется поверхностный интеграл

где .

Если поверхность задается уравнением то поверхностный интеграл приводится к двойному интегралу по формуле (см. [1], 1.1, 1.2)

(1.2)

где – проекция поверхности на плоскость

В данном случае имеем

– уравнение плоскости

– нормальный вектор плоскости:

– единичный вектор нормали:

Тогда

Вычисляем поток, применяя формулу (1.2), – треугольник со сторонами

2. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность лежащую в первом октанте (нормаль внешняя).

Решение. Поток векторного поля через внешнюю сторону замкнутой поверхности равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по области , ограниченной поверхностью

(1.3)

Дивергенция гладкого векторного поля (1.1) вычисляется по формуле

Формула (1.3) называется формулой Гаусса – Остроградского.

Найдем дивергенцию данного поля

Искомый поток найдем по формуле (1.3). При вычислении интеграла используем цилиндрические координаты:

z 1 0 1 y 1 x

.

3. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность ограниченную сферой и плоскостью

Решение. Имеем

z 1 1 0 1 x y

Тройной интеграл вычисляем в сферических координатах:

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить дивергенцию векторного поля в точке

а)

б)

2. Найти поток векторного поля через часть плоскости расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью ):

а)

б)

3. Вычислить двумя способами (непосредственно и по формуле Гаусса – Остроградского) поток векторного поля через замкнутую поверхность, ограниченную поверхностями (нормаль внешняя).

4. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя):

а)

б)

в)

г)

Ответы

1. а) -1; б) 29. 2. а) б) 1. 3.

4. а) б) в) г)