Szaleństwo z metodą

Wyobraźmy sobie szalonego krawca, który szyje wszelkie możliwe ubrania. Nie wie on nic o ludziach, ptakach czy roślinach. Nie ciekawi go świat; nie bada go. Szyje ubrania. Nie wie, dla kogo. Nie myśli o tym. Niektóre są kuliste, bez żadnych otworów; innym wszywa rury, które nazywa „rękawami” lub „nogawkami”. Ilość ich jest dowolna. Ubrania składają się z rozmaitej ilości części. Krawiec dba tylko o jedno: pragnie być konsekwentny. Jego ubrania są symetryczne i asymetryczne, wielkie i małe, rozciągliwe i raz na zawsze unieruchomione. Gdy przystępuje do sporządzenia nowego, przyjmuje określone założenia. Nie zawsze są takie same. Ale postępuje dokładnie w myśl raz powziętych założeń i pragnie, aby nie wynikła z nich sprzeczność. Jeśli przyszyje nogawki, nie odcina ich potem; nie rozpruwa tego, co zszyte; zawsze muszą to być ubrania, a nie pęki na oślep pozszywanych szmat. Gotowe ubrania odnosi do ogromnego składu. Gdybyśmy tam mogli wejść, przekonalibyśmy się, że niektóre pasują na ośmiornicę, a inne na drzewa albo na motyle, albo na ludzi. Odkrylibyśmy ubrania dla centaura i dla jednorożca oraz dla istot, jakich dotąd nikt nie wymyślił. Olbrzymia większość ubrań nie znalazłaby żadnego zastosowania. Każdy przyzna, że syzyfowe prace owego krawca są czystym szaleństwem.

Tak jak on, działa matematyka. Buduje ona struktury, ale nie wiadomo, czyje. Modele doskonałe (tj. doskonale ścisłe), lecz matematyk nie wie, czego to są modele. Nie interesuje go to. Robi to, co robi, ponieważ taka działalność okazała się możliwa. Zapewne, matematyk używa, zwłaszcza przy ustalaniu wstępnych założeń, słów, które znamy z języka potocznego. Mówi on np. o kulach, albo o liniach prostych, albo o punktach. Ale nie rozumie przez owe terminy znajomych nam rzeczy. Powłoka jego kuli nie ma grubości, a punkty — rozmiarów. Przestrzeń jego konstrukcji nie jest naszą przestrzenią, ponieważ może mieć dowolną ilość wymiarów. Matematyk zna nie tylko nieskończoności i pozaskończoności, ale także ujemne prawdopodobieństwa. Jeśli coś może się stać na pewno, prawdopodobieństwo równa się jedności. Jeśli wcale nie może się stać, równa się ono zeru. Okazuje się, że coś może się mniej aniżeli nie—stać.

Matematycy doskonale wiedzą, że nie wiedzą, co robią. „Matematykę —powiedziała osoba bardzo kompetentna, bo Bertrand Russell — można określić jako przedmiot, w którym nigdy nie wiemy, o czym mówimy, ani czy to, co mówimy, jest prawdą.”

Matematyka jest, w naszym rozumieniu, pantokreatyką, realizowaną na papierze, przy pomocy ołówka. Dlatego właśnie o niej mówimy: wydaje się bowiem, że to ona uruchomi w przyszłości „generatory omnipotencjalne” innych światów. Zapewne — jesteśmy od tego dalecy. Prawdopodobnie też część matematyki na zawsze pozostanie „czysta”, albo, jeśli kto woli, pusta, jak puste są ubiory w składzie szalonego krawca.

Język jest systemem symboli, umożliwiającym porozumiewanie się, ponieważ te symbole są przyporządkowane zjawiskom świata zewnętrznego (burza, pies) albo wewnętrznego (smutno, słodko). Gdyby nie było rzeczywistych burz ani smutków, nie byłoby i tych słów. Język potoczny jest nieostry, granice używanych w nim znaczeń są rozmyte, ponadto ewoluuje, jako całość, w miarę zachodzenia zmian społeczno–cywilizacyjnych. Jest on bowiem strukturą nieautonomiczną przez to, że twory językowe odnoszą się do sytuacji pozajęzykowych. W pewnych okolicznościach może się wysoce autonomizować („atulli mirohłady, grobowe ucichy”) bądź, jak w podanym przykładzie, dzięki poetyckiemu słowotwórstwu, bądź przez to, że staję się on językiem logika i podlega srogiej musztrze. Zawsze jednak jego genetyczne związki z rzeczywistością dają się wyśledzić. Natomiast symbole języka matematycznego nie odnoszą się do niczego poza nim. Szachy są nieco podobne do systemu matematycznego. Stanowią one system zamknięty, z własnymi założeniami wstępnymi oraz regułami postępowania. O prawdziwość szachów nie można pytać tak samo, jak nie można pytać o prawdziwość czystej matematyki. Można tylko spytać, czy dany system matematyczny, albo dana partia szachów, zostały rozegrane prawidłowo, tj. zgodnie z regułami. Szachy jednak nie mają żadnych zastosowań praktycznych, podczas kiedy matematyka je ma. Istnieje punkt widzenia, który tę jej przydatność tłumaczy bardzo prosto. Otóż sama Natura ma być w swej istocie „matematyczna”. Sądzili tak Jeans i Eddington, a myślę, że i Einsteinowi nie był ten pogląd zupełnie obcy. Wynika to z jego powiedzenia: „God is sophisticated, but hę is not malicious”. Zawiłość natury — tak rozumiem to zdanie — można odgadnąć, dzięki pochwyceniu jej w sidła prawidłowości (matematycznych). Gdyby jednak była złośliwa, a—matematyczna, przedstawiałaby tym samym niejako złośliwego kłamcę, byłaby bowiem nielogiczna, sprzeczna, a przynajmniej rozmazana w zdarzeniach, nieobliczalna. Jak wiadomo, Einstein do końca życia sprzeciwiał się przyjęciu indeterminizmu kwantowego i usiłował sprowadzić jego zjawiska, w nieustannych eksperymentach myślowych, do praw deterministycznych.

Fizycy od XVI wieku przetrząsają składy „pustych ubrań”, które tworzy matematyka. Rachunek macierzy był „strukturą pustą”, dopóki Heisenberg nie znalazł „kawałka świata”, do którego ta pusta konstrukcja pasowała. Fizyka roi się od takich przykładów.

Procedura fizyki ‘teoretycznej i zarazem matematyki stosowanej jest taka: twierdzenie empiryczne zastępuje się matematycznym (to jest, pewnym symbolom matematycznym przyporządkowuje się fizyczne znaczenia, w rodzaju „masy”, „energii” itp.), uzyskane wyrażenie matematyczne przekształca się zgodnie z regułami matematyki (to jest czysto dedukcyjna, formalna część postępowania), a końcowy rezultat przez ponowne podstawienie znaczeń materialnych zamienia się w twierdzenie empiryczne. To nowe twierdzenie może być przepowiednią przyszłego stanu zjawiska, lub też może wyrażać pewne ogólne równości (że energia równa się iloczynowi z masy przez kwadrat prędkości światła np.), czyli prawa fizyczne.

Tak więc fizykę tłumaczymy na matematykę, z matematyką poczynamy sobie po matematycznemu, wynik na powrót przekładamy na język fizyki i uzyskujemy zgodność z rzeczywistością (jeśli naturalnie działaliśmy w oparciu o „dobrą” fizykę i matematykę). Jest to oczywiście uproszczenie, ponieważ współczesna fizyka tak jest już „przerośnięta” matematyką, że nawet wstępne twierdzenia zawierają jej całe mnóstwo.

Wydaje się, że — przez uniwersalność związków Natury — wiedza empiryczna zawsze może być tylko „niezupełna, niedokładna i niepewna” — przynajmniej w zestawieniu z matematyką czystą, która jest „zupełna, dokładna i pewna”. A zatem nie jest tak, że matematyka, stosowana do wyjaśniania świata przez fizykę czy chemię, mówi o tym świecie za mało, że jej ten świat „wycieka” przez wzory, niezdolne objąć go z dostateczną wszechstronnością, jest raczej na odwrót. Matematyka mówi o świecie (tj. stara się mówić) więcej, aniżeli wolno o nim powiedzieć. Co aktualnie sprawia nauce sporo kłopotów. Zapewne zostaną przezwyciężone. Może kiedyś także rachunek macierzy zastąpi w mechanice kwantowej inny, umożliwiający dokładniejsze przewidywanie. Ale wtedy tylko współczesna mechanika kwantowa zostanie uznana za przestarzałą. Rachunek macierzy nie zestarzeje się. Systemy empiryczne bowiem tracą aktualność, matematyczne nie tracą jej nigdy. Ich pustka jest ich nieśmiertelnością.

Co oznacza właściwie „niematematyczność” Natury? Świat można traktować dwojako. Albo każdy element realności posiada ścisły odpowiednik (matematycznego „sobowtóra”) w teorii fizycznej, albo go nie posiada (tj. nie może posiadać). Jeżeli dla danego zjawiska możliwe jest stworzenie teorii, która nie tylko przewiduje pewien stan końcowy zjawiska, ale także wszystkie stany pośrednie, przy czym na każdym etapie przekształceń matematycznych można wskazać materialny odpowiednik matematycznego symbolu, wówczas wolno mówić o izomorfizmie teorii i rzeczywistości. Tym samym model matematyczny jest sobowtórem realności. Postulat taki właściwy był fizyce klasycznej i z niego wywiodło się przeświadczenie o „matematyczności Natury”^*.

Zachodzi jednak i inna możliwość. Jeżeli strzelimy celnie do lecącego ptaka, który spadnie martwy, uzyskaliśmy końcowy rezultat działań, na którym nam zależało. Tor kuli i tor ptaka nie są jednak wcale izomorficzne. Schodzą się tylko w określonym punkcie, który nazwiemy „końcowym”. Podobnie teoria może przewidzieć końcowy stan zjawiska, mimo że między nim a nią brak wzajemnie jednoznacznej przyporządkowalności elementów realnych i symboli matematycznych. Przykład nasz jest prymitywny, ale może lepszy od żadnego. Fizyków przekonanych o „sobowtórowej” relacji matematyki i świata jest dzisiaj niewielu. Nie znaczy to bynajmniej, jak usiłowałem wyjaśnić na przykładzie ze strzelcem, jakoby zmniejszyły się szansę przewidywania. Podkreśla to jedynie charakter matematyki jako narzędzia. Przestaje ona być wiernym odwzorowaniem, ruchomą fotografią zjawiska. Staje się raczej podobna do drabiny, po której można wejść na górę, chociaż sama wcale nie jest do góry podobna. Zostańmy na chwilę przy tej górze, Z fotografii można, używając odpowiedniej skali, wyczytać jej wysokość, nachylenie zbocza, itp. Drabina może nam niejedno powiedzieć o górze, do której ją przystawiono. Pytanie jednak o to, co w górze odpowiada szczeblom drabiny, nie ma sensu. Służą do tego, aby wejść na szczyt. Tak samo nie można pytać o to, czy drabina jest „prawdziwa”. Może być tylko lepsza albo gorsza, jako narzędzie osiągnięcia celu.

Ale to samo można właściwie powiedzieć o fotografii. Wydaje się wiernym obrazem góry — gdy jednak będziemy ją badać coraz silniejszymi szkłami, szczegóły górskiego zbocza rozpadną się w końcu na czarne plamki ziaren emulsji fotograficznej. Ziarna te z kolei składają się z molekuł bromku srebra. Czy poszczególnym molekułom odpowiada coś jednoznacznie w zboczu górskim? Tak nie jest. Pytanie o to, gdzie „podziewa się” długość wewnątrz jądra atomowego, jest pytaniem, gdzie „podziewa się” góra, kiedy fotografię oglądać przez mikroskop. Fotografia jest prawdziwa jako całość, i tak samo, jako całość, będzie prawdziwa teoria (kwantów np.), która pozwoli lepiej przewidywać powstawanie barionów i leptonów oraz powie, jakie jeszcze cząstki są możliwe, a jakie nie.

Reakcją na podobne tezy może być smętne twierdzenie, że Natura jest niepoznawalna. Jest to przeraźliwe nieporozumienie. Mówiący miał skrytą nadzieję, że mezony i neutrony okażą się w końcu „mimo wszystko” podobne do bardzo, ale to bardzo malutkich kropelek lub piłek ping–pongowych. Wtedy zachowywałyby się jak kule bilardowe, tj. zgodnie z mechaniką klasyczną. Wyznam, że „ping–pongowatość” mezonów zdumiałaby mnie bardziej aniżeli to, że one nie są podobne do niczego znanego nam z doświadczeń codzienności. Jeżeli nie istniejąca jeszcze teoria nukleonów umożliwi np. regulowanie przemian gwiazdowych, myślę, że będzie to sowitą zapłatą za „tajemniczość” tychże nukleonów, która oznacza po prostu to, że nie umiemy ich sobie wyobrazić naocznie.

Na czym zamykamy rozważania o matematyczności albo niematematyczności Natury, aby powrócić do spraw przyszłości. Czysta matematyka była dotąd składem „pustych struktur”, w którym fizyk szukał czegoś, co by „pasowało” na „przyrodę”. Wszystko inne leżało odłogiem. Sytuacja może się jednak odwrócić. Matematyka jest posłuszną niewolnicą fizyki, zasługującą na jej uznanie o tyle, o ile potrafi naśladować świat. Matematyka może się jednak stać rozkazodawcą fizyki, nie współczesnej, ale syntetycznej, w bardzo oddalonej od nas przyszłości. Dopóki istnieje tylko na papierze i w umysłach matematyków, nazywamy ją pustą. A jeśli będziemy mogli zmaterializować jej konstrukcje? Produkować światy „zadane z góry”, posługując się, jako planami budowy, systemami matematycznymi? Czy to będą może maszyny? Nie, jeżeli atomu nie uważamy za maszynę. Tak, jeśli atom jest według nas maszyną. Matematyka będzie generatorem fantomologicznym, stwórczynią światów, „innej jawy niż jawa Istnienia”. Jak można to sobie wyobrazić? Czy to w ogóle możliwe?

Jesteśmy jeszcze niedostatecznie przygotowani do omówienia tej ostatniej rewolucji technologicznej, jaka jest dzisiaj do pomyślenia. Znowu wybiegliśmy pochopnie zbyt daleko naprzód. Musimy cofnąć się od pantokreatyki do imitologii. Ale pierwej niezbędne będą dwa słowa o systematyce tych nie istniejących przedmiotów.