1.5 Оценка прогноза (точечного и интервального) валового продукта Yq для заданного значения среднесписочной численности Xq.
Прогнозируемое значение Xq=5100. тогда
Границы доверительного интервала находим как:
U= |
|
1505,8858
Таким образом,
прогнозное значение
=1707,4148 будет находиться между верхней
границей, равной 1707,4148+1505,8858=3213,3006 и
нижней границей, равной
1707,4148-1505,8858=201,529.
1.6 Построим линейную модель регрессии с использованием инструмента регрессия в Excel.
2.Построение и анализ производственной функции Кобба-Дугласа.
2.1 Построение производственной функции.
Построим производственную функцию типа:
,
используя данные о выпуске продукции,
затратах труда и затратах производственных
фондов за 10 лет.
Прологарифмировав
функцию Кобба-Дугласа:
и переозначив переменные получим
линейную функцию:
Данные и расчет для формирования ситемы нормальних уравнений, оценки уравнения регрессии , прогнозирования представим в таблице 3.
Таблица 3 |
|
||||||||||||
год |
выпуск Pi |
капитал Ki |
труд Li |
Уi |
Х2i |
|
|||||||
1 |
5,3 |
4,6 |
2,6 |
1,66770682 |
1,526056303 |
|
|||||||
2 |
6,4 |
5,3 |
2,9 |
1,85629799 |
1,667706821 |
|
|||||||
3 |
7,1 |
7,1 |
3,6 |
1,96009478 |
1,960094784 |
|
|||||||
4 |
8,0 |
8,4 |
4,2 |
2,07944154 |
2,128231706 |
|
|||||||
5 |
9,5 |
9,2 |
4,7 |
2,25129180 |
2,219203484 |
|
|||||||
6 |
10,3 |
10,6 |
5,1 |
2,33214390 |
2,360854001 |
|
|||||||
7 |
11,2 |
11,4 |
5,8 |
2,41591378 |
2,433613355 |
|
|||||||
8 |
12,6 |
12,8 |
6,3 |
2,53369681 |
2,549445171 |
|
|||||||
9 |
13,8 |
13,4 |
6,7 |
2,62466859 |
2,595254707 |
|
|||||||
10 |
14,3 |
14,2 |
7,2 |
2,66025954 |
2,653241965 |
|
|||||||
итого |
98,5 |
97,0 |
49,1 |
22,38151555 |
22,09370230 |
|
|||||||
прогноз |
|
27,2 |
17,6 |
|
|
|
|||||||
среднее |
9,375984271 |
9,109977393 |
4,658828261 |
2,23815156 |
2,20937023 |
|
|||||||
Продолжение таблицы 3 |
|||||||||||||
Х3i |
X2i² |
X3i² |
X2*X3 |
Y*X2 |
Y*X3 |
||||||||
0,955511445 |
2,328847841 |
0,913002122 |
1,458164264 |
2,545014506 |
1,593512954 |
||||||||
1,064710737 |
2,781246039 |
1,133608953 |
1,775625358 |
3,09576082 |
1,976420401 |
||||||||
1,280933845 |
3,841971562 |
1,640791516 |
2,510751749 |
3,841971562 |
2,510751749 |
||||||||
1,435084525 |
4,529370194 |
2,059467595 |
3,054192387 |
4,425533419 |
2,984174378 |
||||||||
1,547562509 |
4,924864104 |
2,394949718 |
3,434356111 |
4,996074603 |
3,484014784 |
||||||||
1,62924054 |
5,573631615 |
2,654424736 |
3,846399047 |
5,505851246 |
3,799623379 |
||||||||
1,757857918 |
5,922473964 |
3,090064458 |
4,277946505 |
5,879400036 |
4,246833163 |
||||||||
1,840549633 |
6,49967068 |
3,387622953 |
4,692380375 |
6,459521107 |
4,663394742 |
||||||||
1,902107526 |
6,735346994 |
3,618013042 |
4,936453511 |
6,811683518 |
4,992401883 |
||||||||
1,974081026 |
7,039692923 |
3,896995897 |
5,23771462 |
7,058312241 |
5,251567877 |
||||||||
15,38763970 |
50,17711592 |
24,78894099 |
35,22398393 |
50,61912306 |
35,50269531 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
1,53876397 |
|
|
|
|
|
||||||||
Продолжение таблицы 3 |
|||||||||
Ŷi |
ei |
ei² |
yi |
yi² |
x2i |
||||
1,696661477 |
-0,028954656 |
0,000838372 |
-0,57044473 |
0,32540720 |
-0,68331393 |
||||
1,792271988 |
0,064026002 |
0,004099329 |
-0,38185356 |
0,14581214 |
-0,54166341 |
||||
1,976579073 |
-0,016484289 |
0,000271732 |
-0,27805677 |
0,07731557 |
-0,24927545 |
||||
2,124932916 |
-0,045491374 |
0,002069465 |
-0,15871001 |
0,02518887 |
-0,08113852 |
||||
2,246519782 |
0,004772016 |
2,27721E-05 |
0,01314024 |
0,00017267 |
0,00983325 |
||||
2,303017532 |
0,029126363 |
0,000848345 |
0,09399234 |
0,00883456 |
0,15148377 |
||||
2,455202037 |
-0,039288258 |
0,001543567 |
0,17776222 |
0,03159941 |
0,22424313 |
||||
2,524000405 |
0,009696409 |
9,40204E-05 |
0,29554526 |
0,08734700 |
0,34007494 |
||||
2,592216839 |
0,032451753 |
0,001053116 |
0,38651704 |
0,14939542 |
0,38588448 |
||||
2,670113509 |
-0,009853972 |
9,71008E-05 |
0,42210798 |
0,17817515 |
0,44387173 |
||||
22,38151556 |
-0,00000001 |
0,01093782 |
0,00000000 |
1,02924798 |
0,00000000 |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
Продолжение таблицы 3 |
|
||||||||
x2i² |
x3i |
x3i² |
|
||||||
0,466917922 |
-0,58325253 |
0,340183508 |
|
||||||
0,293399249 |
-0,47405323 |
0,224726468 |
|
||||||
0,062138248 |
-0,25783012 |
0,066476373 |
|
||||||
0,00658346 |
-0,10367945 |
0,010749427 |
|
||||||
9,66929E-05 |
0,00879854 |
7,74143E-05 |
|
||||||
0,022947333 |
0,09047657 |
0,00818601 |
|
||||||
0,050284979 |
0,21909395 |
0,048002158 |
|
||||||
0,115650966 |
0,30178566 |
0,091074586 |
|
||||||
0,14890683 |
0,36334356 |
0,13201854 |
|
||||||
0,197022117 |
0,43531706 |
0,189500939 |
|
||||||
1,36394780 |
0,00000000 |
1,11099542 |
|
||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||
Для определения параметров используем метод наименьших квадратов. Составим систему линейных уравнений линейной модели:
В матричном виде
система имеет вид:
.
Ее решение
X= |
10,0000000 |
22,0937023 |
15,38763970 |
22,0937023 |
50,17711592 |
35,22398393 |
|
15,3876397 |
35,22398393 |
24,78894099 |
Y= |
22,38151555 |
50,61912306 |
|
35,50269531 |
X´= |
10 |
22,0937023 |
15,3876397 |
22,0937023 |
50,17711592 |
35,22398393 |
|
15,3876397 |
35,22398393 |
24,78894099 |
|
|
|
|
|
X´X= |
824,9111369 |
1871,549258 |
1313,547904 |
1871,549258 |
4246,603687 |
2980,573115 |
|
1313,547904 |
2980,573115 |
2092,000095 |
|
|
|
|
|
(X´X)‾¹= |
8193,64248 |
-16098,32077 |
17791,33771 |
-16098,32077 |
31655,30967 |
-34992,85187 |
|
17791,33771 |
-34992,85187 |
38684,97919 |
|
|
|
|
|
X'Y= |
1888,481675 |
1888,481675 |
1888,481675 |
4284,958516 |
4284,958516 |
4284,958516 |
|
3007,480093 |
3007,480093 |
3007,480093 |
|
|
|
|
|
β= |
0,980601437 |
|
|
-0,420624778 |
|
|
|
1,421183482 |
|
|
Функция примет вид:
Ŷi=0,980601502-0,420624782*X
i+1,421183474*X
i
Определим несмещенную оценку дисперсии случайной переменной:
S²= |
0,001562546 |
Найдем коэффициент множественной корреляции
R²= |
0,986336712 |
Т.к. R
близок к 1, то делаем вывод о тесноте
взаимосвязи случайных величин.
Проверим статистическую значимость оценок параметров по t–статистике Стьюдента.
t1= |
4,412107897 |
t2= |
-1,001077827 |
t3= |
3,052682331 |
Сравнивая полученные
данные с табличным можно сделать вывод,
что коэффициенты
и
значимые, а
незначимый.